Системы неравенств
с двумя переменными
К учебнику Ю.Н.Макарычева
Алгебра, 9 класс, Глава III §
учитель математики высшей категории
МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
Оршанского района Республики Марий Эл
Решение системы неравенств
с двумя переменными
Решением системы неравенств с двумя переменными называется пара значений этих переменных, являющаяся как решением первого неравенства, так и второго неравенства системы.
(1; 2) – решение?
(2; 1) – решение?
(1; 2) – решение
(2; 1) –не решение
Изображение множества решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости
Парабола разбивает координатную плоскость на две области. Решением неравенства является область с точкой А.
Изображение множества решений системы неравенств с двумя переменными на координатной плоскости
Множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений неравенств, входящих в систему. На координатной плоскости множество решений системы неравенств изображается множеством точек, являющихся общей частью множеств, представляющих собой решения каждого неравенства системы.
х = 2
- Построим прямую х = 2.
- Построим прямую у = -3.
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
у = -3
Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (прямой угол)
- Построим прямую 2у + 3х = 6
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим прямую у - 2х = -3
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (угол)
- Построим прямую у = 2 х + 1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим прямую у = 2 х - 1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются координаты точек пересечения множеств решений неравенств системы (полоса)
- Построим окружность х 2 + у 2 = 1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим прямую 2х + у = 0
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются точки полукруга
- Построим параболу у = (х - 1) 2 -2
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
- Построим окружность (х-1) 2 +(у+2) 2 =1
- Она разбивает плоскость на две области, выбираем нужную нам область и наносим штриховку
Решениями данной системы являются точки пересечения множеств решений неравенств системы
Изобразить множество точек, которые являются решениями системы и вычислить площадь получившейся фигуры
1. Неравенства с двумя переменными. Способы решения системы двух неравенств с двумя переменными: аналитический способ и графический способ.
2. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.
3. Совокупности неравенств с двумя переменными.
НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ. Предикат вида f₁(х, у)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - выражения с переменными х и у, определенные на множестве ХхУ называется неравенством с двумя переменными (с двумя неизвестными) х и у. Ясно, что любое неравенство вида с двумя переменными можно записать в виде f(х, у) > 0, хÎХ, уÎ У. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (х, у) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости. Если уравнение.
f(х, у) = 0 определяет некоторую линию на координатной плоскости, то множество точек плоскости, не лежащих на этой линии, состоит из конечного числа областей С₁, С 2 , ..., С п (рис. 17.8). В каждой из областей С, функция f(х, у) отлична от нуля, т.к. точки, в которых f(х, у) = 0 принадлежат границам этих областей.
Решение. Преобразуем неравенство к виду х > у 2 + 2у - 3. Построим на координатной плоскости параболу х = у 2 + 2у - 3. Она разобьет плоскость на две области G₁ и G 2 (рис. 17.9). Так как абсцисса любой точки, лежащей правее параболы х = у 2 + 2у - 3, больше, чем абсцисса точки, имеющей ту же ординату, но лежащей на параболе, и т.к. неравенство х>у г + 2у -3 нестрогое, то геометрическим изображением решений данного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе х = у 2 + 2у - 3 и правее нее (рис. 17.9).
| Рис. 17.9 |
Рис. 17.10
Пример 17.15. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств
у > 0,
ху > 5,
х + у <6.
Решение. Геометрическим изображением решения системы неравенств х > 0, у > 0 является множество точек первого координатного угла. Геометрическим изображением решений неравенства х + у < 6 или у < 6 - х является множество точек, лежащих ниже прямой и на самой прямой, служащей графиком функции у = 6 - х. Геометрическим изображением решений неравенства ху > 5 или, поскольку х > 0 неравенства у > 5/х является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции у = 5/х. В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции у = 6 - х, и выше ветви гиперболы, служащей графиком функции у = 5х (рис. 17.10).
Глава III. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ
Неравенством с двумя переменными х и у называется неравенство вида:
(или знак )
где – некоторое выражение с данными переменными.
Решением неравенства с двумя переменными называют упорядоченную пару чисел при которой это неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – значит найти множество всех его решений. Решением неравенства с двумя переменными является некоторое множество точек координатной плоскости.
Основным методом решений данных неравенств является графический метод. Он заключается в том, что строятся линии границ (если неравенство строгое, линия строится пунктиром). Уравнение границы получаем, если в заданном неравенстве заменяем знак неравенства на знак равенства. Все линии в совокупности разбивают координатную плоскость на части. Искомое множество точек, которое соответствует заданному неравенству или системе неравенств, можно определить, если взять контрольную точку внутри каждой области области.
Совокупность неравенств с двумя переменными имеет вид
Решением совокупности является объединение всех решений неравенств.
Пример 1.
Решить систему 
Решение. Построим в системе Оху соответствующие линии (рис.19):
Уравнение задает окружность с центром в точке О ¢(0; 1) и R = 2.
Уравнение определяет параболу с вершиной в точке О (0; 0).
Найдем решения каждого из неравенств, входящих в систему. Первому неравенству соответствует область внутри окружности и сама окружность (в справедливости этого убеждаемся, если подставим в неравенство координаты любой точки из этой области). Второму неравенству соответствует область, расположенная под параболой.
Решение системы – пересечение двух указанных областей (на рис.19 показано наложением двух штриховок).
Задания
I уровень
1.1. Решить графически:
3) ; 4) 
;
5) ; 6) 
;
7) 
;
II уровень
2.1. Решите графически:
1) 
2)
2.2. Найдите количество целочисленных решений системы:
1) 2) 3) 
2.3. Найдите все целочисленные решения системы:
1) 
2)
3) 
2.4. Решите неравенство. В ответе укажите количество решений с двумя целочисленными координатами
Если в школьном курсе математики и алгебры отдельно выделить тему «неравенства», то основную часть времени постигаются азы работы с неравенствами , которые содержат в своей записи переменную. В данной статье мы разберем, что такое неравенства с переменными, скажем, что называют их решением, а также разберемся, как записываются решения неравенств. Для пояснения будем приводить примеры и необходимые комментарии.
Навигация по странице.
Что такое неравенства с переменными?
Например, если неравенство не имеет решений, то так и пишут «нет решений» или используют знак пустого множества ∅.
Когда общим решением неравенства является одно число, то его и так и записывают, к примеру, 0 , −7,2 или 7/9 , а иногда еще заключают в фигурные скобки.
Если решение неравенства представляется несколькими числами и их количество невелико, то их просто перечисляют через запятую (или через точку с запятой), или записывают через запятую в фигурных скобках. Например, если общее решение неравенства с одной переменной составляют три числа −5 , 1,5 и 47 , то записывают −5 , 1,5 , 47 или {−5, 1,5, 47} .
А для записи решений неравенств, имеющих бесконечное множество решений используют как принятые обозначения множеств натуральных, целых, рациональных, действительных чисел вида N , Z , Q и R , обозначения числовых промежутков и множеств отдельных чисел, простейшие неравенства, так и описание множества через характеристическое свойство, и все не названные способы. Но на практике наиболее часто пользуются простейшими неравенствами и числовыми промежутками. Например, если решением неравенства является число 1 , полуинтервал (3, 7] и луч , ∪ ; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Видеоурок «Неравенства с двумя переменными» предназначен для обучения алгебре по данной теме в 9 классе общеобразовательной школы. Видеоурок содержит описание теоретических основ решения неравенств, подробно описывает процесс решения неравенств графическим способом, его особенности, демонстрирует примеры решения заданий по теме. Задача данного видеоурока - при помощи наглядного представления информации облегчить понимание материала, способствовать формированию умений в решении задач с применением изученных математических методов.
Основными инструментами видеоурока являются использование анимации в представлении графиков и теоретических сведений, выделение понятий, особенностей, важных для понимания и запоминания материала, цветом и другими графическими способами, голосовое сопровождение объяснения с целью более легкого запоминания информации и формирования умения использования математического языка.
Видеоурок начинается и представления темы и примера, демонстрирующего понятие решения неравенства. Для формирования понимания смысла понятия решения представлено неравенство 3х 2 -у<10, в которое подставляется пара значений х=2 и у=6. Демонстрируется, как после подстановки данных значений неравенство становится верным. Понятие решения данного неравенства как пары значений (2;6) выведено на экран, подчеркивая его важность. Затем представляется определение рассмотренного понятия для запоминания его учениками или записи в тетрадь.
Важной частью умения решать неравенства является умение изобразить на координатной плоскости множество его решений. Формирование такого умения в данном уроке начинается с демонстрации нахождения множества решений линейных неравенств ax+by
Примером такого неравенства является х+3у>6. Чтобы преобразовать неравенство в равносильное неравенство, отражающее зависимость значений у от значений х, обе части неравенства делятся на 3, у остается в одной части уравнения, а х переносится в другую. Произвольно выбирается значение х=3 для подстановки в неравенство. Отмечается, что данное значение х подставить в неравенство и заменить знак неравенства знаком равенства, можно найти соответствующее значение у=1. Пара (3;1) будет являться решением уравнения у=-(1/3)х+2. Если же подставлять любые значения у, большие 1, то неравенство с данным значением х будет верно: (3;2), (3;8) и др. Аналогично данному процессу нахождения решения рассматривается общий случай для поиска множества решений данного неравенства. Поиск множества решений неравенства начинается с подстановки некоторого значения х 0 . В правой части неравенства получается выражение -(1/3)х 0 +2. Некоторая пара чисел (х 0 ;у 0) является решением уравнения у=-(1/3)х+2. Соответственно решениями неравенства у>-(1/3)х 0 +2 будут соответствующие пары значений с х 0 , где у больше значений у 0 . То есть решениями этого неравенства будут пары значений (х 0 ;у).
Чтобы найти на координатной плоскости множество решений неравенства х+3у>6, на ней демонстрируется построение прямой, соответствующей уравнению у=-(1/3)х+2. На данной прямой отмечается точка М с координатами (х 0 ;у 0). При этом отмечается, что все точки К(х 0 ;у) с ординатами у>у 0 , то есть расположенные выше данной прямой, будут удовлетворять условиям неравенства у>-(1/3)х+2. Из анализа делается вывод о том, что данным неравенство задается множество точек, которые располагаются выше прямой у=-(1/3)х+2. Это множество точек составляют полуплоскость над данной прямой. Так как неравенство строгое, сама прямая не входит в число решений. На рисунке данный факт отмечен пунктирным обозначением.
Обобщая данные, полученные в результате описания решения неравенства х+3у>6, можно говорить о том, что прямая х+3у=6 разбивается плоскость на две полуплоскости, при этом расположенная выше полуплоскость отражает множество значений удовлетворяющих неравенству х+3у>6, а распложенная ниже прямой - решение неравенства х+3у<6. Данный вывод является важным для понимания, каким образом решаются неравенства, поэтому выведен на экран отдельно в рамке.
Далее рассматривается пример решения нестрогого неравенства второй степени у>=(х-3) 2 . Для определения множества решений рядом на рисунке строится парабола у=(х-3) 2 . На параболе отмечается точка М(х 0 ;у 0), значения которой будут решениями уравнения у=(х-3) 2 . В данной точке строится перпендикуляр, на котором выше параболы отмечается точка К(х 0 ;у), которая будет решением неравенства у>(х-3) 2 . Можно сделать вывод о том, что исходному неравенству удовлетворяют координаты точек, расположенных на данной параболе у=(х-3) 2 и выше ее. На рисунке данную область решений отмечают штрихованием.
Следующим примером, демонстрирующим положение на плоскости точек, являющихся решением неравенства второй степени, является описание решения неравенства х 2 +у 2 <=9. На координатной плоскости строится окружность радиусом 3 с центром в начале координат. Отмечается, что решениями уравнения будут точки, сумма квадратов координат которых не превышает квадрата радиуса. Также отмечается, что окружность х 2 +у 2 =9 разбивает плоскость на области внутри окружности и вне круга. Очевидно, что множество точек внутренней части круга удовлетворяют неравенству х 2 +у 2 <9, а внешняя часть - неравенству х 2 +у 2 >9. Соответственно, решением исходного неравенства будет множество точек окружности и области внутри ее.
Далее рассматривается решение уравнения ху>8. На координатной плоскости рядом с заданием строится гипербола, удовлетворяющая уравнению ху=8. Отмечается точка М(х 0 ;у 0), принадлежащая гиперболе и К(х 0 ;у) выше ее параллельно оси у. Очевидно, что координаты точки К соответствуют неравенству ху>8, так как произведение координат данной точки превосходит 8. Указывается, что таким же способом доказывается соответствие точек, принадлежащих области В, неравенству ху<8. Следовательно, решением неравенства ху>8 будет множество точек, лежащих в областях А и С.
Видеоурок «Неравенства с двумя переменными» может послужить наглядным пособием учителю на уроке. Также материал поможет ученику, самостоятельно осваивающему материал. Полезно использование видеоурока при дистанционном обучении.
