Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смыс­ле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюн­кцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смот­реть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с про­смотром телепередач.)

В высказывании Данный глагол I или II спряжения союз «или» ис­
пользуется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция
называется строгой дизъюнкцией. . ,. ,-> „ ,... > (, г>

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

Высказывание	Вид дизъюнкции
Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона	Строгая
Студент едет в электричке или читает книгу	Нестрогая
Оля любит писать сочинения или решать логические задачи	Нестрогая
Сережа учится в школе или окончил ее	Строгая
Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано)	Строгая
Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать	Нестрогая
Зелия движется по круговой или эллиптической орбите	Строгая
Числа можно складывать или перемножать	Нестрогая
Дети бывают или воспитанные, или не наши	?

Обозначение нестрогой дизъюнкции: А ИЛИ В; A OR В; А | В; А V В; А + В. (В данном пособии: А V В.)

Приведем пример дизъюнкции двух простых высказываний.

Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.

Обозначим высказывания:

А = На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули».

(А дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мерседес» или «Жигули».

Глава 3. Логичздуие операции ____________ [___________________________ Щ

Таблица., ^»-«н..;ч; i ■.■;- >i ,;,

Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно. Иногда это свойство прини­мают за определение операции дизъюнкции.

Мнемоническое правило: дизъюнкция - это логическое сложе­ние, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0 + 0 = 0; 0+1 = 1;1+0=1, верные для обычного сложения, верны и для опера­ции дизъюнкции, но 1 V 1 = 1.

В слове «конъюнкция» одна буква «и», а в слове «дизъюнкция» две буквы «и», как и в слове «или».

V Л-Символ V (дизъюнкция) образован из первой буквы латинского слова Vel («или»).

«Диз» - «галочка вниз» - V.

В теории множеств дизъюнкции соответствует операция объедине­ния множеств.

Для построения соответствующей объединению множеств диаграммы Эйлера-Венна выберем те строки таблицы истинности, в которых AvB=\. Их три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В та­кие же, как в выбранных строках. ^ _ ч."" " * "о L su J I J

30 ___________________________ Часть 1. Элеиснтвьматематичсекой" логики

Графическая иллюстрация: ».*■.

А В A\jB - множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами.

j Рассмотрим операцию строгой дизъюнкции (исключающее «или»). i Приведем пример строгой дизъюнкции.

,}■ Пусть даны высказывания:

"■ А = На автостоянке стоит «Мерседес».

>; В = На автостоянке стоят «Жигули».

i {А строгая дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мврседве»*или

«Жигули». v ?;;

Использование операции «исключающее «или» подразумевает, что на автостоянке может быть либо только «Мерседес», либо только «Жигули», и запрещает ситуацию, когда «Мерседес» и «Жигули» находятся на автосто­янке одновременно.

; . - "4",

Обозначение строгой дизъюнкции: A XOR В; A v В.

глава 3. Логические операции ______________________________________ 31

Из таблицы истинности следует, что операция строгой дизъюнкции истинна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истин­но, и ложна, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимают за определение операции строгой дизъюнкции.

Диаграмма Эйлера - Венна, изображающая строгую дизъюнкцию, строится по таблице истинности таким же способом, как и для остальных логических операций.

Графическая иллюстрация:

<ЗЭ

А - множество отличников в классе; В - множество спортсменов в классе;

А у В - множество учеников класса, которые являются либо отличниками, либо спортсменами.

d "W.C . J

Логическое следование (импликация) -wr™

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух!,

высказываний в одно с помощью оборота речи «если ..., то ... ». ■

Примеры импликаций: "

Е = Если клятва дана, то она должна выполняться. {

Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3. I

В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бес-.;:

смысленные с житейской точки зрения высказывания. i

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассмат-j; ривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»:

С = Если коровы летают, то 2 + 2 = 5. Х=Еслия - Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Обозначение импликации: А -> В; А =э В. (В данном пособии: А =» В.) Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечет В; В следует из А.

Часть 1. Элементы математической логики

Глава 3. Логические операций f; Л._________________________ 33

Данная операция не так очевидна, как предыдущие. Объяснить ее можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания: .>--.< а «<, .<-. *>, w "„ihw

Л А = На улице дождь. >..;; j .„ , | Г,., д

В = Асфальт мокрый. ц

(А импликация 2?) = £Ъш на улице дождь, то асфальт мокрый.

Тогда если идет дождь {А = 1) и асфальт мокрый (5=1), то это соот­
ветствует действительности, т. е. истинно. Но если вам скажут, что на
улице идет дождь {А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчи­
таете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт
может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поли­
вальная машина). ъ. ?; t | rfl ]

Таблица

Форма высказывания: если А, то В,

Г SOW ! ,чи , Т " /1

"? , Л ■ и " . "Л \ и ч > < "Л

Лт С.Ч;":\0«1 "

Поясним построение диаграммы. Нас интересует истинность имплика­ции, поэтому выберем те строки таблицы истинности, в которых А => В = 1. Таких строк три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В такие же, как в выбранных строках:

Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда это свойство принимают за определение операции импликации.

Разберем один из приведенных выше примеров следований, проти­воречащих здравому смыслу.

(А = 0)п(В = 0)

(А = 0)п (В = 1)

(Л = 1)п(Я=1)

Логическое равенство (эквивалентность)

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединени­ем двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда ...».

Часть 1. Элементы математической логики^

Глава 3. Логические операции

Примеры эквивалентностей: "

1) Угол называется прямым тогда и ттько тогда, когда он равен 90°.

2) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пере­секаются. .,

3) Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или рав­номерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона.)

4) Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. (Шутка.)

Все законы математики, физики, все определения суть эквивалент­ность высказываний.

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В. (В данном пособии: А о В.)

Приведем пример эквивалентности. Пусть даны высказывания:

А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем). В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.

(А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только mogda, когда
сумма его цифр делится нацело на 3. , ;

Пояснение:

А	В	А<^В

Таблица истинности:

	Значение
	высказывания
Смысл высказываний	Число кратно 3
А и В для указанных < значений "*"	тогда и только тогда, когда
*	сумма его цифр делится нацело на 3
Число не	Сумма цифр не	Истина
кратно трем	кратна трем
Число не	Сумма цифр	Ложь
кратно трем	кратна трем
Число кратно	Сумма цифр не	Ложь
трем	кратна трем
Число кратно	Сумма цифр	Истина
трем	кратна трем

Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказы­ваний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимается за определение операции эквивалентности.

В теории множеств этой операции соответствует операция эквива­лентности множеств.

Для построения соответствующей эквивалентности множеств диаг­раммы Эйлера - Венна выберем те строки таблицы истинности, в кото­рых А <=> В = 1. Их две. На диаграмме заштрихуем две области, в которых значения АнВ такие же, как в выбранных строках.

Графическая иллюстрация: c~J_........ 1л ...Li

Ш ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Логическая операция - способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Инверсия (логическое отрицание) образуется из высказывания с по­мощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования обо­рота речи «неверно, что...».

Обозначение инверсии: НЕ А; -. A; A; NOT A. >"i, t

Таблица
истинности: ■■■ г -

А	А

Инверсия высказывания истинна, когда выс­
казывание ложно, и ложна, когда высказывание
истинно. ■--■

! t ■ .■ " Н ■

Часть 1. Элементы математической логики

Глава 3. Логические операции

Конъюнкция (логическое умножение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».

Обозначение конъюнкции: А Я В; А Л В; А & В; А ■ В; A AND В.

; (Г">* „*

Эквивалентность (логическое равенство) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В.

Таблица истинности:

Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания ис­тинны или оба ложны.

Дизъюнкция (логическое сложение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». ,

Обозначение дизъюнкции: А ИЛИ В; А \ В; Л V В; А + В.

Таблица истинности:

Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...». Обозначение импликации: А-> В;А=$ В.

Опорный конспект «Свойства логических операций»

Таблица истинности:

А	В	А^В

Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

Ч1я" | ; - VI

. ..,.. . , .-. . if . .................. --,-

■*}■

<Ч. 1

Похожая информация.

Дизъюнкция

Дизъю́нкция - (лат. disjunctio - разобщение) логическая операция , по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Синонимы: логи́ческое «ИЛИ» , включа́ющее «ИЛИ» , логи́ческое сложе́ние , иногда просто «ИЛИ» .

Дизъюнкция может быть бинарной операцией, то есть, иметь два операнда, тернарной операцией, то есть иметь три операнда или n-арной операцией, то есть иметь n операндов.
Запись может быть префиксной - знак операции стоит перед операндами (польская запись), инфиксной - знак операции стоит между операндами или постфиксной - знак операции стоит после операндов. При числе операндов более 2-х префиксная и постфиксная записи экономичнее.
Чаще всего встречаются следующие варианты записи:
|| | .

Булева алгебра

Определение.
Логическая функция MAX в двухзначной (двоичной) логике называется дизъюнкция (логи́ческое "ИЛИ" , логи́ческое сложе́ние или просто "ИЛИ" ).
Правило: результат равен наибольшему операнду.
Описание.
В булевой алгебре дизъюнкция - это функция двух, трёх или более переменных (они же - операнды операции, они же - аргументы функции).
Правило: результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен .

Таблица истинности

Таблица истинности для тернарной (трёхоперандной) дизъюнкции:

X	Y	Z	X Y Z
0	0	0	0
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	0	1
0	0	1	1
1	0	1	1
0	1	1	1
1	1	1	1

Многозначная логика

Операция, называемая в двоичной логике дизъюнкция , в многозначных логиках называется максимум : , где , а - значность логики. Возможны и другие варианты. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов .

Следует отметить, что название этой операции максимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия дизъюнкция , логи́ческое "ИЛИ" , логическое сложе́ние и просто "ИЛИ" имеют смысл только в двоичной логике, а при переходе к многозначным логикам теряют смысл.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом . Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода. Высоко летать-больно падать

Схемотехника

0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	1

Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

• "1" тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,
• "0" тогда и только тогда, когда на всех входах «0»

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++ логическое «ИЛИ» обозначается символом "||", а побитовое - символом "|". В языках Pascal/Delphi оба вида дизъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «or », а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) - выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) - поразрядная.

Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата или . Например:

If (a || b) { /* какие-то действия */ } ;

Результат будет равен , если оба операнда равны или . В любом другом случае результат будет равен .

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно , то значение правого операнда не вычисляется (вместо может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую

{$B-}

или выключающую

{$B+}

подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет необходимость вычисления правого операнда:

If (a == NULL || a-> x == 0 ) { /* какие-то действия */ } ;

В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдёт разыменования нулевого указателя.

Побитовое «ИЛИ» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,

если
a =
b =
то
a ИЛИ b =

Связь с естественным языком

Часто указывают на сходство между дизъюнкцией и союзом «или» в естественном языке, когда он употребляется в смысле «или то, или то, или оба сразу». В юридических документах часто пишут: «и/или», подразумевая «или то, или то, или оба сразу». Составное утверждение «A и/или B» считается ложным, когда ложны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение истинно. Это в точности соответствует определению дизъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как , а «ложь» как .

Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» используется в двух значениях: то для обозначения дизъюнкции, то для другой операции -

Обозначения для логических связок:

отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬А);

конъюнкция (логическое умножение, логическое И) обозначается /\

(например, А /\ В) либо & (например, А & В);

дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается \/

(например, А \/ В);

следование (импликация) обозначается → (например, А → В);

тождество обозначается ≡ (например, A ≡ B). Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны);

символ 1 (единица) используется для обозначения истины (истинного высказывания);

символ 0 (ноль) используется для обозначения лжи (ложного высказывания).

Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А /\ В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).

Приоритеты логических операций: инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение), импликация (следование), тождество. Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и

((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).

Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.

Свойства логических операций

Общие свойства логических операций

Для набора из n логических переменных существует ровно 2n различных значений. Таблица истинности для логического выражения от n переменных содержит n+1 столбец и 2n строк.

Дизъюнкция

Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется дизъюнкция, истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция истинна для этого набора значений.

Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже истинна.

Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже ложна.

Значение дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.

Конъюнкция

Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется конъюнкция, ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция ложна для этого набора значений.

Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже истинна.

Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже ложна.

Значение конъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.

Простые дизъюнкции и конъюнкции

Назовем (для удобства) конъюнкцию простой, если подвыражения, к которым применяется конъюнкция, – различные переменные или их отрицания. Аналогично, дизъюнкция называется простой, если подвыражения, к которым применяется дизъюнкция, – различные переменные или их отрицания.

Простая конъюнкция принимает значение 1 (истина) ровно на одном наборе значений переменных.

Простая дизъюнкция принимает значение 0 (ложь) ровно на одном наборе значений переменных.

Импликация

Импликация A →B равносильна дизъюнкции (¬А) \/ В. Эту дизъюнкцию можно записать и так: ¬А \/ В.

Импликация A →B принимает значение 0 (ложь) только если A=1 и B=0. Если A=0, то импликация A →B истинна при любом значении B.

Операция дизъюнкция (лат. disjunctio - разделение) (логическое сложение ) - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Условное обозначение на структурных схемах логического элемента ИЛИ с двумя входами представлено на Рис. 2.8. Знак 1 на схеме - от устаревшего обозначения дизъюнкции как >=1 (т.е. значение дизъюнкции равно единице, если сумма значений операндов больше или равна 1). Связь между выходом F этой схемы и входами A и B описывается соотношением: F = A v B (читается как A или B).

Рис. 2.8. Логический элемент электронной схемы ИЛИ

Рассмотрим таблицу истинности для операции дизъюнкции ИЛИ с двумя входами A и B.

Таблица 2.3

Операция дизъюнкции (логическое сложение)

А (вход)	B(вход)	A v B (выход)

Для обозначения дизъюнкции используют знаки Ú, + , или .

Операции дизъюнкции в электрических контактных схемах соответствует параллельное соединение контактов. Например, электрическая контактная схема на рисунке 2.9 соответствует дизъюнкции .

Рис. 2.9 Параллельное соединение контактов

Набор выше рассмотренных логических функций НЕ, И, ИЛИ (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция) наиболее известный и называется функционально полным набором или базисом . С помощью этих логических функций можно выразить любые другие логические функции.

Конъюнктивная x + y {\displaystyle x+y} Полином Жегалкина x ⊕ y ⊕ x y {\displaystyle x\oplus y\oplus xy} Принадлежность предполным классам Сохраняет 0 Да Сохраняет 1 Да Монотонна Да Линейна Нет Самодвойственна Нет

Дизъюнкция может быть операцией как бинарной (имеющей два операнда), так и n {\displaystyle n} -арной (имеющей n {\displaystyle n} операндов) для произвольного n {\displaystyle n} .

Запись может быть префиксной - знак операции стоит перед операндами (польская запись), инфиксной - знак операции стоит между операндами или постфиксной - знак операции стоит после операндов. При числе операндов более двух префиксная и постфиксная записи экономичнее.

Обозначения

Наиболее часто встречаются следующие обозначения для операции дизъюнкции:

a ∨ b , a {\displaystyle a\lor b,\;a} || b , a {\displaystyle b,\;a} | b , a OR b {\displaystyle b,\;a~{\mbox{OR}}\,\,b} , max (a , b) . {\displaystyle ,\;\max(a,b).}

При этом обозначение наиболее широко распространено в современной математике и математической логике . Появилось оно не сразу: Джордж Буль , положивший начало систематическому применению символического метода к логике, не работал с дизъюнкцией (используя вместо неё строгую дизъюнкцию , которую обозначал знаком + ), а Уильям Джевонс предложил для дизъюнкции знак ·|· . Эрнст Шрёдер и П. С. Порецкий вновь использовали знак + , но уже применительно к обычной дизъюнкции . Символ ∨ {\displaystyle \lor } как обозначение дизъюнкции впервые встречается в статье «Математическая логика, основанная на теории типов» Бертрана Рассела (1908); он образован от лат. vel что означает ‘или’ .

Обозначение ⋁ для дизъюнкции было использовано и в раннем языке программирования Алгол 60 . Однако из-за отсутствия соответствующего символа в стандартных наборах символов (например, в ASCII или EBCDIC), применявшихся на большинстве компьютеров , в получивших наибольшее распространение языках программирования были предусмотрены иные обозначения для дизъюнкции. Так, в Фортране IV и PL/I применялись соответственно обозначения.OR. и | (с возможностью замены последнего на ключевое слово OR) ; в языках Паскаль и Ада используется зарезервированное слово or ; в языках и C++ применяются обозначения | для побитовой дизъюнкции и || для логической дизъюнкции ).

Наконец, при естественном упорядочении значений истинности двузначной логики (когда полагают, что 0 < 1 {\displaystyle 0<1} ), оказывается, что (a ∨ b) = max (a , b) . {\displaystyle (a\lor b)\,=\,\max(a,b).} Таким образом, дизъюнкция оказывается частным случаем операции вычисления максимума ; это открывает наиболее естественный способ определить операцию дизъюнкции в системах многозначной логики .

Булева алгебра

Логическая функция MAX в двухзначной (двоичной) логике называется дизъюнкция (логи́ческое «ИЛИ» , логи́ческое сложе́ние или просто «ИЛИ» ). При этом результат равен наибольшему операнду.

В булевой алгебре дизъюнкция - это функция двух, трёх или более переменных (они же - операнды операции, они же - аргументы функции). Таким образом, результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен 1 {\displaystyle 1} .

Таблица истинности
a {\displaystyle a}	b {\displaystyle b}	a ∨ b {\displaystyle a\lor b}
	1 {\displaystyle 1}	1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1}		1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1}	1 {\displaystyle 1}	1 {\displaystyle 1}

Таблица истинности для тернарной (трёхоперандной) дизъюнкции:

a {\displaystyle a}	b {\displaystyle b}	c {\displaystyle c}	a ∨ b ∨ c {\displaystyle a\lor b\lor c}
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Многозначная логика

Операция, называемая в двоичной логике дизъюнкция , в многозначных логиках называется максимум : m a x (a , b) {\displaystyle max(a,b)} , где a , b ∈ [ 0 , . . . , n − 1 ] {\displaystyle a,b\in } , а n {\displaystyle n} - значность логики. Возможны и другие варианты [чего? ] . Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов 0 , 1 {\displaystyle 0,1} .

Следует отметить, что название этой операции максимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия дизъюнкция , логи́ческое «ИЛИ» , логическое сложе́ние и просто «ИЛИ» характерны для двоичной логики, а при переходе к многозначным логикам используются реже.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом . Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Схемотехника

Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

• «1» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,
• «0» тогда и только тогда, когда на всех входах «0»

Теория множеств

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++/Perl/PHP логическое «ИЛИ» обозначается символом "||", а побитовое - символом "|". В языках Pascal/Delphi оба вида дизъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «or », а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) - выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) - поразрядная.

Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата или . Например:

if (a || b ) { /* какие-то действия */ };

Результат будет равен f a l s e {\displaystyle false} , если оба операнда равны f a l s e {\displaystyle false} или . В любом другом случае результат будет равен t r u e {\displaystyle true} .

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно t r u e {\displaystyle true} , то значение правого операнда не вычисляется (вместо b {\displaystyle b} может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую