ПРИ КРУЧЕНИИ (ЗАДАЧА № 11)

Условие задачи

Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. 3.6, а ). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил и , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала и ; длины участков , , .

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности;

3) построить эпюру углов закручивания.

Решение

Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары и . Составив условие равновесия вала

убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: и . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой.

Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. Это равносильно тому, что полный угол закручивания вала на участке А–В равен нулю: , или .

Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (3.3) (закон Гука при кручении), для каждого участка стержня:

, , .

Подставив физические соотношения в условие совместности деформаций, находим реактивный момент , а затем из уравнения равновесия определяем . Эпюра крутящих моментов показана на рис. 3.6, б .

Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений (3.5) на каждом участке вала:

; ; .

Коэффициенты и , представляющие собой отношения полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого участка , определим через известные параметры и .

Полярный момент инерции может быть записан двояким образом:

; ,

где , - радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус через :

Тогда полярный момент сопротивления второго участка

,

то есть . Аналогично .

Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записать условие прочности (3.13). Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления , и затем, используя формулу (3.8), радиусы вала на каждом участке.

; ; .

Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле (3.3). Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце вала Вид эпюры углов закручивания показан на рис. 3.6, в .

Для конструкции, имеющей жесткий стержень, рациональным уравнением равновесия, в которое входит одно неизвестное усилие, является уравнение , где А – шарнир, вокруг которого поворачивается жесткий стержень.

Как видно из названия, этот способ применим к конструкциям, стержни которых выполнены из пластичного материала.

Очевидно, что связь между деформациями стержней будет такой же, как и в первой части задачи, поэтому уравнение совместности деформаций в третьей части задачи можно записать, используя ранее полученное уравнение, заменив в нем на .

При решении этой задачи студенты заочной формы обучения выполняют только расчет по предельному пластическому состоянию. Остальные студенты решают задачу № 6 в соответствии с требованием преподавателя. Пункт 2, отмеченный значком *, не является обязательным и выполняется по желанию студента.

Современные нормы строительного проектирования предусматривают более сложный подход (введение отдельных коэффициентов запаса на нагрузку, свойства материала, условия работы конструкции). С этим студент познакомится при изучении курсов металлических, железобетонных и других конструкций.

Кручение стержня круглого сечения – условие задачи

К стальному валу постоянного поперечного сечения (рис. 3.8) приложены четыре внешних скручивающих момента: кН·м; кН·м; кН·м; кН·м. Длины участков стержня: м; м, м, м. Требуется: построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала при кН/см2 и построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Кручение стержня круглого сечения – расчетная схема

Рис. 3.8

Решение задачи кручение стержня круглого сечения

Определяем реактивный момент, возникающий в жесткой заделке

Обозначим момент в заделке и направим его, например, против хода часовой стрелки (при взгляде навстречу оси z).

Запишем уравнение равновесия вала. При этом будем пользоваться следующим правилом знаков: внешние скручивающие моменты (активные моменты, а также реактивный момент в заделке), вращающие вал против хода часовой стрелки (при взгляде на него навстречу оси z), считаем положительными.

Знак «плюс» в полученном нами выражении говорит о том, что мы угадали направление реактивного момента , возникающего в заделке.

Строим эпюру крутящих моментов

Напомним, что внутренний крутящий момент , возникающий в некотором поперечном сечении стержня, равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к любой из рассматриваемых частей стержня (то есть действующих левее или правее сделанного сечения). При этом внешний скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), входит в эту алгебраическую сумму со знаком «плюс», а по ходу – со знаком «минус».

Соответственно, положительный внутренний крутящий момент, противодействующий внешним скручивающим моментам, направлен по ходу часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), а отрицательный – против ее хода.

Разбиваем длину стержня на четыре участка (рис. 3.8, а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние моменты.

Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из четырех участков стержня.

Cечение 1 – 1. Мысленно отбросим (или закроем листком бумаги) левую часть стержня. Чтобы уравновесить скручивающий момент кН·м, в поперечном сечении стержня должен возникнуть равный ему и противоположно направленный крутящий момент . С учетом упомянутого выше правила знаков

кН·м.

Сечения 2 – 2 и 3 – 3:

Сечение 4 – 4. Чтобы определить крутящий момент, в сечении 4 – 4 отбросим правую часть стержня. Тогда

кН·м.

Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим теперь не правую, а левую часть стержня. Получим

Для построения эпюры крутящих моментов проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.8, б). Вычисленные значения крутящих моментов в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой оси. В пределах каждого из участков стержня крутящий момент постоянен, поэтому мы как бы «заштриховываем» вертикальными линиями соответствующий участок. Напомним, что каждый отрезок «штриховки» (ордината эпюры) дает в принятом масштабе значение крутящего момента в соответствующем поперечном сечении стержня. Полученную эпюру обводим жирной линией.

Отметим, что в местах приложения внешних скручивающих моментов на эпюре мы получили скачкообразное изменение внутреннего крутящего момента на величину соответствующего внешнего момента.

Определяем диаметр вала из условия прочности

Условие прочности при кручении имеет вид

,

где – полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).

Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала: кН·см.

Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле

см.

Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным мм.

Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания

Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня , где G – модуль сдвига, а – полярный момент инерции. Получим

Углы закручивания на отдельных участках стержня равны:

рад;

рад;

рад;

рад.

Угол закручивания в заделки равен нулю, то есть . Тогда

Эпюра углов закручивания показана на рис. 3.8, в. Отметим, что в пределах длины каждого из участков вала угол закручивания изменяется по линейному закону.

Пример задачи на кручение "круглого" стержня для самостоятельного решения

Условие задачи на кручение "круглого" стержня

Жестко защемленный одним концом стальной стержень (модуль сдвига кН/см2) круглого поперечного сечения скручивается четырьмя моментами (рис. 3.7).

Требуется:

· построить эпюру крутящих моментов;

· при заданном допускаемом касательном напряжении кН/см2 из условия прочности определить диаметр вала, округлив его до ближайшего из следующих значений 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;

· построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.

Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения для самостоятельного решения

Пример задачи на кручение круглого стержня – исходные условия для самостоятельного решения

Номер схемы
			Перед решением задачи по сопромату необходимо переписать полностью ее условие с числовыми данными, составить эскиз в масштабе и указать на нем в числах все величины, необходимые для дальнейшего расчета, Решение задач по сопромату дополняйте краткими пояснениями и чертежами, на которых визуализированы входящие в расчет величины, Перед использованием формулы для определения напряженно-деформированного состояния необходимо изучить соответствующую тему лекций по сопромату, чтобы понять физический смысл всех величин, входящих в нее, При подстановке в используемую формулу величин силы, момента или длины необходимо перевести их в одну систему единиц, При решении задач по сопромату точность расчетов не должна превышать трех значащих цифр (результат решения задачи не может быть точнее заложенных в расчетные формулы предпосылок), Заканчивать расчеты нужно анализом результатов - преподавали по сопромату таким образом проверяют ваши работы. Анализ результатов решения поможет избежать нелепых ошибок и оперативно их устранить.

Как было отмечено ранее, статически неопределимыми называются брусья и системы, внутренние усилия или реакции опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения –уравнения совместности деформаций или перемещений. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости.

Важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений. Способ их составления поясним на следующем примере.

Рассмотрим стержень, защемленный обоими концами и нагруженный моментом М Х, действующим в плоскости, перпендикулярной продольной оси стержня (рис. 6.7).

В этом случае в заделках могут возникать только опорные моменты М А и М В относительно продольной оси, которые требуется определить. Направления неизвестных опорных реакций показываются произвольно.

Статическая сторона задачи для определения этих неизвестных дает только одно уравнение равновесия:

(6.20)

Получили одно уравнение с двумя неизвестными, значит степень статической неопределимости данной задачи равна единице. Для составления дополнительного уравнения рассмотрим геометрическую сторону задачи, т.е. составим условие совместности деформаций: полный угол закручивания сечения правого конца бруса (сечения В) по отношению к левому защемленному концу равен нулю, т.е.

Полный угол закручивания
равен сумме углов закручивания двух участков:

(6.21)

Физическая сторона задачи . Углы закручивания отдельных участковиопределим по формуле (6.11):

(6.22)

В этих формулах выражения для М t 1 иM t 2 записываем по методу сечений, рассматривая правую отсеченную часть:

M t1 = M B – M X ; M t2 = M B . (6.23)

Подставляя выражения (6.22) с учетом (6.23) в уравнение (6.21), получим:

Отсюда при
имеем:

В случае
и
получаем

(6.24)

ПРИМЕР 6.3

Брус, изображенный на рис. 6.8а, защемлен с двух концов:

Требуется:

– определить реакции опор и построить эпюры крутящих моментов;

– подобрать диаметр бруса сплошного круглого сечения;

– построить эпюру углов закручивания сечений.

А. Раскрытие статической неопределимости

и построение эпюры крутящих моментов

1. Статическая сторона задачи.

Здесь М А и М В – опорные реакции в заделках, действующие в плоскостях, перпендикулярных оси стержня. Их направление выбрано произвольно.

Получили одно уравнение, содержащее два неизвестных, т.е. рассматриваемая задача один раз статически неопределима.

2. Геометрическая сторона задачи.

Для получения дополнительного уравнения рассмотрим условие совместности деформаций отдельных участков.

Определим полный угол закручивания правого концевого сечения бруса по отношению к левому сечению. Он определяется как сумма углов закручивания трех участков и равен нулю.

3. Физическая сторона задачи.

Используем закон Гука при кручении для определения  i:

Системы, в которых количество наложенных связей больше, числа независимых уравн равновесия,называются стат неопред .По сравнению со стат определимыми системами, в ста неопрд. системах имеются дополнительные лишние связи.Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являют­ся лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действи­тельности эти связи создают дополнитрезервы для конст­рукций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.На рис. 2.5, а изображен кронштейн, сост из 2 стерж­ней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертик усилие Р , а система яв­ляется плоской получается, что усилия в стержнях легко определ. из условий равновесия узла А , т.е.x = 0, y = 0. Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему лин уравнений относительно неизвестных усилий N 1 и N 2 в кото­рой количество уравнений равно количеству неизвестных:N 1  N 2 sin  = 0;N 2 cos   Р = 0.

Если конструкцию крон­штейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б ), то усилия в стержнях N 1 , N 2 и N 3 прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются 3 неиз­вестных усилия в стержнях. Получсис­тема один раз ста неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) урав­нений равновесия, связывающих эти усилия, называется сте­пенью ст неопределрассматриваемой системы.В общем случае под n раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число не­зависимых и значащих уравнений равновесия на n единиц. Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в такой последовательности.1Устанавливае степень ст неопред системы как разность между числом искомых неизв усилий и числом независ уравн равновесия. Учитывается, что простой шарнир, соединяющ 2 стержня системы, уменьшает степень ст неопределим на 1, т к снимает одну связь, препятств повороту одной части системы относительно другой. Простой шарнир позволяет добавить к уравн. равн. всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы.2. Из заданной ст неопр. сист выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки.3. Изображается соответствующая выбранной основной эквивалентная система, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении приложены силы X i , если связи препятствовали линейному перемещению, и пары X k , если они исключали повороты сечений.4. Составляются канонические уравнения метода сил.5. Вычисляются коэффициенты канонических уравнений аналитически

Статически неопределимые задачи на кручение

Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики. Один из методов решения статически неопределимых задач сводится к следующему:

а) составляются все возможные в данной задаче уравнения статики;

б) представляется картина деформации, происходящей в данной конструкции, и записываются деформационные уравнения, число которых должно быть равно степени статической неопределимости задачи;

в) решается совместная система уравнений статики и деформационных уравнений.

Рассмотрим решение статически неопределимой задачи на кручение.

Пример № 1

Построить эпюру крутящих моментов для вала постоянного по длине поперечного сечения, жестко защемленного обоими торцами и нагруженного скручивающим сосредоточенным моментом М (см. рис.), расположенным на расстоянии а от левого закрепления.

Решение.

Так как вал защемлен с двух торцов, то в обоих защемлениях возникнут реактивные опорные моменты М А и М В . Для их определения используем вначале уравнения статики. В данном случае можно составить только одно уравнение равновесия: , или

М А + М В + М = 0.(1)

Уравнение содержит две неизвестные величины: М А и М В . Следовательно, данная задача является один раз статически неопределимой.

Рассматриваем картину деформации вала (рис. б ). Видно, что взаимный угол закручивания правого торца относительно левого равен нулю. Угол поворота правого торца относительно левого может быть представлен в виде суммы углов закручивания отдельных участков вала.

Согласно формуле , углы закручивания по участкам определятся следующим образом: для участка длиной а для участка длиной b где T a и T b – крутящие моменты на соответствующих участках вала. Суммарный угол закручивания по условию закрепления концов равен нулю, т.е.

(2)

Это и есть деформационное уравнение задачи. Преобразуем его. Применяя метод сечений, выразим крутящие моменты Т а и Т b :

Т а = М А ,Т b = М В .

Подставив эти значения моментов в уравнение (2), и сократив полученное уравнение на постоянный множитель , получим

.(3)

Решая совместно уравнения (1) и (3), найдем

Знак «–» указывает на то, что истинное направление реактивных моментов противоположно выбранному первоначально. Вычислив реактивные моменты, строим эпюру крутящих моментов по известным правилам (рис. в ).

Можно отметить следующую особенность эпюр крутящих моментов в статически неопределимых валах с = const : суммарная площадь эпюры крутящих моментов равна нулю, что по существу предопределено уравнением (3). Если вал ступенчатый, то нулю должна быть равна сумма площадей эпюры крутящих моментов, отнесенных к моментам инерции сечений на соответствующих участках.

Пример № 2

Построить эпюры крутящих моментов Т , абсолютных и относительных углов закручивания круглого сплошного ступенчатого стержня, защемленного с двух торцов и нагруженного внешним крутящим моментом М (см. рис.).

Решение.

Задача один раз статически неопределима. Решим задачу следующим способом. Отбросим мысленно правое защемление, т.е. рассмотрим статически определимый стержень, показанный на рис. б . Эпюра крутящих моментов для него от действия внешнего крутящего момента М имеет вид, показанный на рис. в . Определим угол закручивания правого торца В статически определимого стержня:

Ответ получился со знаком «+», следовательно, сечение В повернется вокруг оси х в направлении внешнего момента М . Но на самом деле сечение 4 статически неопределимого стержня (рис. а ) не поворачивается . Приложим к статически определимому стержню крутящий момент М В (рис. г ) и определим угол поворота правого торца только от действия момента М В , используя эпюру крутящего момента (рис. д ),

Теперь можно записать деформационное условие, показывающее, что угол поворота в сечении 4 статически неопределимого стержня должен быть равен нулю:

Из этого условия находимМ В = М /6. Крутящий момент М В будет являться опорной реакцией для статически неопределимого стержня,

М В = М 4 .

Окончательная эпюра крутящих моментов получается сложением двух эпюр и (рис. е ).

Приступаем к построению эпюры углов закручивания , для чего вычисляем по формуле углы закручивания для каждого участка

а затем находим значения углов закручивания в характерных сечениях:

Последний результат подтверждает правильность проведенных вычислений. Введя для сокращения новое обозначение , окончательно получаем:

Затем строим эпюру абсолютных углов закручивания (рис.ж ).

Для построения эпюры относительных углов закручивания (рис.з ) необходимо предварительно вычислить

где принято следовательно,

Определим необходимые диаметры стержня. Примем, что внешний крутящий момент М = 20 кНм, расчетное сопротивление материала стержня на срез R s = 100 МПа, допустимый относительный угол закручивания , а модуль сдвига G = 8·10 4 МПа.

Диаметр стержня в пределах I и II участков будем обозначать d 1 , а в пределах участка III – d 4 . Согласно условию задачи между d 1 и d 4 , существует соотношение (рис. а ):

и , тогда откуда

Кроме того,

Необходимый диаметр d 1 при условии обеспечения прочности стержня определяем по формуле , взяв значение крутящего момента из эпюры Т , представленной на рис. е :

Определим максимальное касательное напряжение, которое возникнет в стержне на участке III :

Необходимый диаметр при условии обеспечения жесткости стержня находим по формуле :

Сравнивая результаты, принимаем окончательно d 1 =13 см, d 4 =11 см, определенные из условия жесткости.

Диаметр d 4,жестк можно определить также, используя эпюру (рис. з ), из которой видно, что на участке I , поэтому приравнивая

находим и, наконец, определяем

Пример № 3

Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. а). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил M 1 и M 2 , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала и ; длины участков l 1 , l 2 , l 3 .

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности;

3) построить эпюру углов закручивания.

Решение.

Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары и . Составив условие равновесия вала

Убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: и . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой.

Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. Это равносильно тому, что полный угол закручивания вала на участке А–В равен нулю: , или.

Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (закон Гука при кручении), для каждого участка стержня:

, ,.

Подставив физические соотношения в условие совместности деформаций, находим реактивный момент , а затем из уравнения равновесия определяем . Эпюра крутящих моментов показана на рис. б .

Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений на каждом участке вала:

; ;.

Коэффициенты и , представляющие собой отношения полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого участка , определим через известные параметры и .

Полярный момент инерции может быть записан двояким образом:

где , - радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус через :

Тогда полярный момент сопротивления второго участка

,

то есть . Аналогично .

Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записатьусловие прочности . Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления , и затем, используя формулу , радиусы вала на каждом участке.

;;.

Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле . Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце валаВид эпюры углов закручивания показан на рис. в .