Обратная функция

Текст урока

• Конспект урок 1-3 (Морозова И. А.)

  Название предмета Алгебра и начала математического анализа Класс 10 УМК Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. Мордковича. – 10-е изд.,стер. – М.: Мнемозина, 2012. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ [А.Г. Мордкович и др]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд.,стер. – М.: Мнемозина, 2012. Уровень обучения базовый Тема урока: Обратная функция. (3 часа) Урок 1. Цель урока: ввести понятия обратимой и обратной функции; провести доказательство теоремы о монотонности прямой и обратной функции; выявить и обосновать геометрический смысл обратимости функции Задачи урока: - формировать умение находить обратную функцию для заданной; - формировать умение строить график обратной функции. Планируемые результаты: Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции. Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции. Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся) III. Проверочная работа. Вариант 1 1. Дана функция а) Исследуйте функцию на монотонность, если х > 2. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1,5; 1,5]. 2. Исследуйте функцию где х > 0, на ограниченность. 3. Исследуйте функцию на четность. Вариант 2 1. Дана функция а) Исследуйте функцию на монотонность, если х < 2. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–4,5; –3,1]. 2. Исследуйте функцию где х < 0, на ограниченность. 3. Исследуйте функцию на четность. Вариант 3 1. Дана функция а) Исследуйте функцию на монотонность, если х < –1. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; 0,4]. 2. Исследуйте функцию где х < –1, на ограниченность. 3. Исследуйте функцию на четность. Вариант 4 1. Дана функция а) Исследуйте функцию на монотонность, если х  1. б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . 2. Исследуйте функцию где х > 2, на ограниченность. 3. Исследуйте функцию на четность. Решение вариантов 1 и 3 проверочной работы. Варианты 1 и 2 несколько легче вариантов 3 и 4. Вариант 1 1. Обозначим а) Пусть тогда функция убывает на (–; 2]. б) Так как функция убывает на (–∞; 2], то Ответ: а) убывает; б) унаиб. = 12,25; унаим. = 0,25. 2. где х > 0. Функция ограничена сверху прямой у = 0, значит, функция ограничена сверху прямой у = 1. Ответ: ограничена сверху. 3. – симметрична относительно начала координат. значит, функция нечетная. Ответ: нечетная. Вариант 3 1. а) Обозначим Графиком является парабола с вершиной в точке (–1; –1) и пересекающая ось 0х в точках х = 0 и х = –2. Если х > –1, то функция возрастает. б) На отрезке [–2; 0,4] и Ответ: а) возрастает; б) унаиб. = 0,96; унаим. = 0. 2. где х < –1. Функция ограничена снизу прямой у = 0, значит, функция ограничена снизу прямой у = 2. Ответ: ограничена снизу. 3. – симметрична относительно начала координат. Если х = 0, то Имеем: значит, функция ни четная, ни нечетная. Ответ: ни четная, ни нечетная. IV. Объяснение нового материала. 1. Для введения понятия обратимой функции можно использовать либо подвижные модели, либо изображение обратимых и необратимых функций на прозрачной пленке, перевернув которую можно показать, как область определения и область значения функции «меняются местами» и в каком случае обеспечивается однозначность обратной функции. 2. Для первичного закрепления материала учащиеся выполняют следующее задание. Среди функций, графики которых изображены на рисунке, укажите обратимые. 3. Теорема 1. Подчеркиваем учащимся, что в теореме сформулирован признак обратимости функции (достаточное условие). В то же время монотонность не является необходимым условием обратимости. Динамическая пауза. V. Формирование умений и навыков. Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на аналитическое задание функции, обратной данной. № 3.1 (а; б), № 3. 2 (а; б). При выполнении этих упражнений следует предупредить формализм в аналитическом задании функции путем простого преобразования уравнения. Учащиеся должны обосновать существование обратной функции. Решение: № 3.1 (б). Линейная функция у = 2 + 4х определена на R, возрастает на R(k  0), E(f) = R. Значит, на R существует обратная функция. – искомая обратная функция, возрастающая на R. Ответ: № 3.2 (б). Функция убывает на всей области определения, значит, существует обратная функция, определенная и убывающая на Ответ: V. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. Домашнее задание: № 3.1 (в; г) – № 3.2 (в; г). Урок 2. Цель урока: выявить и обосновать геометрический смысл обратимости функции Задачи урока: - развивать умение находить обратную функцию для заданной; - формировать умение строить график обратной функции. Планируемые результаты: Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции. Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции. Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся) III. Работа в группах. Карточка 1. Карточка 2. IV. Объяснение нового материала. Устанавливая геометрический смысл обратимости функции, учащиеся формулируют способ построения графика обратной функции с помощью преобразования осевой симметрии. Графики функции у = f(х) и обратной функции у = f-1 симметричны относительной прямой у = х. Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х. Функция f-1(x) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f(х) = 2х - 4. Но и функция f(х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f-1(x) = 1/2х + 2. Поэтому функции f(х) и f-1(х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f-1(f(х)) = х и f(f-1(x) = x. Динамическая пауза. V. Формирование умений и навыков. Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на построение графика обратной функции с помощью осевой симметрии. № 3.3 (а; б), № 3. 4 (а; б), № 3.5* (а; б). Решение: № 3. 4 (б). Графиком является кубическая парабола, полученная из графика у = х3 сдвигом вправо по оси 0х на 2 единицы. Функция возрастает на R, значит, существует обратная функция, заданная и возрастающая на R. Ответ: V. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. – Каков характер монотонности прямой и обратной функций? – Как построить график обратной функции, используя график данной функции? Домашнее задание: № 3.3 (в; г) – № 3.4 (в; г) № 3.5 * (в; г) – по желанию. Урок 3. Цель урока: проверить степень усвоения теоретического материала и умения применять его при выполнении письменной работы Задачи урока: - развивать умение находить обратную функцию для заданной; - развивать умение строить график обратной функции. Планируемые результаты: Знать: определение обратимой функция, обратной функции, признак обратимости функции. Уметь: находить формулу функции, обратной данной; строить график обратной функции, используя график данной функции. Техническое обеспечение урока компьютер, экран, проектор, учебник. Ход урока I. Организационный момент. II. Проверка домашнего задания (разбор заданий, вызвавших затруднения учащихся) III. Зачетная работа Вариант 1. Вариант 2. Итоги урока. Вопросы учащимся: – Какая функция называется обратимой? – Сформулируйте признак обратимости функции. –Дайте определение обратной функции. – Каков характер монотонности прямой и обратной функций? – Как построить график обратной функции, используя график данной функции? Домашнее задание: §3, примеры 1-3.

  Скачать: Алгебра 10кл - Конспект урок 1-3 (Морозова И. А.).docx

• урок 1 (Самойлова Г. А.)

  Алгебра и начала анализа 10 класс УМК: Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А.Г. Мордкович, Москва 2013 Уровень обучения: базовый Тема: Обратная функция Всего часов: 3 ч По теме: урок № 1 Цель урока: Образовательная: Ввести и закрепить определение обратной функции; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; Развивающая: развивать навыки самоконтроля, предметную речь; овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции; Воспитательная: формировать коммуникативную компетентность. Задачи урока: 1.Познакомить учащихся с обратимыми функциями и их графиками. 2.Обогатить опыт учащихся в получении новых знаний на основе уже имеющихся теоретических знаний, а также через использование знакомых ситуаций практического характера Планируемые результаты: После изучения этой темы учащиеся должны знать: Определение обратимой функции; построение графика обратимой функции; примеры функций из жизни; приемы сравнения, обобщения, умение делать выводы; После изучения этой темы учащиеся должны уметь: самостоятельно пополнять и систематизировать свои знания: -строить графики обратимых функций: -уметь делать выводы. Техническое обеспечение урока: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10 класс (базовый уровень)» А.Г. Мордкович. Таблицы числовых функций. Компьютер, проектор, экран. Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Методическое пособие для преподавателей «Поурочные планы к учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс», А.Г. Мордкович, Волгоград 2013 Интернет ресурсы https:// 1september.ru Содержание урока: 1. Организационный момент 2. Контроль остаточных знаний 3. Изучение нового материала 4. Закрепление 5. Итог урока 6. Постановка домашнего задания Ход урока: 1. Организационный момент 2. Контроль остаточных знаний 1). Повторение и закрепление пройденного материала 1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач). 2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа). Вариант 1 Проведите исследование функции и постройте ее график: 3. Изучение нового материала По аналитическому виду функции для любого значения аргумента легко найти соответствующее значение функции у. Часто возникает обратная задача: известно значение у и необходимо найти значение аргумента x, при котором оно достигается. Пример 1 Найдем значение аргумента х, если значение функции равно: а) 2; б) 7/6; в) 1. Из аналитического вида функции выразим переменную х и получим: 4xy - 2у = 3x + 1 или х(4у - 3) = 2у + 1, откуда. Теперь легко решить задачу: Функцию называют обратной по отношению к функции. Так как принято аргумент функции обозначать буквой х, а значение функции - буквой у, то обратную функцию записывают в виде Дадим необходимые для изучения темы понятия. Определение 1. Функцию у = f(x), х ∈ Х называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке х множества X (другими словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). В противном случае функцию называют необратимой. Пример 2 Функция каждое свое значение принимает только в одной точке х и является обратимой (график а). Функция имеет такие значения у (например, у = 2), которые достигаются в двух различных точках x, и является необратимой (график б). При рассмотрении темы полезна следующая теорема. Теорема 1. Если функция у = f(х), ∈ монотонна на множестве X, то она обратима. Пример 3 Вернемся к предыдущему примеру. Функция убывает (монотонна) и обратима на всей области определения. Функция немонотонна и необратима. Однако эта функция возрастает на промежутках (-∞; -1] и . Поэтому на таких промежутках функция обратима. Например, функция обратима на отрезке x [-1;1 ]. Определение 2. Пусть у = f(х), х ∈ Х - обратимая функция и E(f) = Y. Поставим в соответствие каждому Y то единственное значение х, при котором f(x) = у (т. е. единственный корень уравнения f(x) = у относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на множестве Y (множество X - ее область значений). Эту функцию обозначают х – f-1(y), y ∈ Y и называют обратной по отношению к функции у = f(х), х ∈ X. На рисунке показаны функция у = f(х) и обратная функция x = f-1(y). Прямая и обратная функции имеют одинаковую монотонность. Теорема 2. Если функция у = f(х) возрастает (убывает) на множестве X, а У - ее область значений, то обратная функция x = f-1(y) возрастает (убывает) на множестве Y. Пример 4 Функция убывает на множестве и имеет множество значений Обратная функция также убывает на множестве и имеет множество значений Очевидно, что графики функций и совпадают, так как эти функции приводят к одной и той же зависимости между переменными х и у: 4ху - 3х - 2у - 1 = 0. Для нас привычно, что аргумент функции обозначают буквой х, значение функции - буквой у. Поэтому обратную функцию будем записывать в виде у = f-1(x) (см. пример 1). Теорема 3. Графики функции у = f(х) и обратной функции у = f-1 симметричны относительной прямой у = х. Пример 5 Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f(х) = 2х – 4 обратная функция f-1(x) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х. Функция f-1(x) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f(х) = 2х - 4. Но и функция f(х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f-1(x) = 1/2х + 2. Поэтому функции f(х) и f-1(х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f-1(f(х)) = х и f(f-1(x) = x. 4. Закрепление 1)Контрольные вопросы: 1. Обратимые и необратимые функции. 2. Обратимость монотонной функции. 3. Определение обратной функции. 4. Монотонность прямой и обратной функций. 5. Графики прямой и обратной функций. 2) Задание на уроке § 3, № 1 (а, б); 2 (в, г); 3 (а, г); 4 (в, г); 5 (а, в). 5. Итог урока Что нового вы сегодня узнали на уроке? С какими затруднениями столкнулись? Сделайте вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций. 4. Постановка домашнего задания § 3, № 1 (в, г); 2 (а, б); 3 (б, в); 4 (а, б); 5 (б, г).

  Скачать: Алгебра 10кл - урок 1 (Самойлова Г. А.).doc

• урок 2 (Самойлова Г. А.)

  Алгебра и начала анализа 10 класс УМК: Алгебра и начала анализа 10-11 класс, А.Г. Мордкович, Москва 2013 Уровень обучения: базовый Тема: Обратная функция Всего часов: 3 По теме: урок № 2 Цель урока: Образовательная: закрепить определение обратной функции; закрепить знания свойств обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; Развивающая: развивать навыки самоконтроля, предметную речь; владеть методами нахождения обратной функции; Воспитательная: формировать коммуникативную компетентность; Организовать проблемно-поисковую работу учащихся Задачи урока: 1.Познакомить учащихся с обратимыми функциями и их графиками. 2.Обогатить опыт учащихся в получении новых знаний на основе уже имеющихся теоретических знаний, а также через использование знакомых ситуаций практического характера Планируемые результаты: После изучения этой темы учащиеся должны знать: Определение обратимой функции; построение графика обратимой функции; примеры функций из жизни; приемы сравнения, обобщения. После изучения этой темы учащиеся должны уметь: - самостоятельно пополнять и систематизировать свои знания: - строить графики обратимых функций: - уметь делать выводы. Техническое обеспечение урока: учебное пособие «Алгебра и начала анализа. 10 класс (базовый уровень)» А.Г. Мордкович. Таблицы числовых функций. Компьютер, проектор, экран. Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока: Методическое пособие для преподавателей «Поурочные планы к учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс», А.Г. Мордкович, Волгоград 2013 Интернет ресурсы https:// 1september.ru Содержание урока: 1. Организационный момент 2. Проверка домашнего задания 3. Закрепление изученного материала 4. Проверочная работа 5. Итог урока 6. Постановка домашнего задания 1.Организационный момент. Учитель сообщает учащимся тему, цель урока и средства ее достижения. 2. Проверка домашнего задания 1) Задания вызвавшие затруднение решаем у доски 2) Фронтальный опрос теоретической части темы Вопросы: 1. Какая функция называется обратимой? 2. Любая ли функция обратима? 3. Какая функция называется обратной данной? 4. Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции? 5. Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию? 6. Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции? 3. Закрепление изученного материала 1) Работа по готовому чертежу (повторение свойств числовой функции). Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Ученик справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства. Свойства функции: 1. D(f) = [-4;),E(y) = и на и на [-1;0] 6. yнаиб- не существует yнаим=0 при х=0 7. xmax= -1 ,ymax = 2 xmin = -2, ymin = 1 xmin = 0, ymin = 0 8. Выпукла вниз на , выпукла вверх на . 2) Рассмотрим функцию, найдем обратную к ней. (Работа у доски, оформление в тетради). Дана функция y=x2,x∈. Функция у= arcsin x является обратной для функции y=sinx . [ -  ;  ] 2 2

  Функции cos x и arccos x Рассмотрим функцию у=со s x на отрезке Функция монотонно убывает. ОЗФ [-1;1]. Функция y=arccos x является обратной для функции у=со sx .

  Функции tg x и arctg x Рассмотрим фун-кцию y= tg x на ин- тервале Функция монотонно возрастает. ОЗФ – множество R . Функция y= arctg x является обратной для функции y= tg x . (-  ; ) 2 2

  Функции ctg x и arcctg x Рассмотрим функцию y= ctg x на промежутке (0; ). Функция монотонно убывает. ОЗФ множество R . Обратной является функция у = arcctg x.

  Зачет по теме «Взаимно обратные функции» Вопрос № 1 Вопрос № 2 Вопрос № 3 Вопрос № 4 Вопрос № 5 Закончить Закончить

  Вопрос № 1 Графики взаимно обратных функций расположены в системе координат симметрично относительно: Начала координат Прямой у=х Оси OY Оси OX

  Вопрос № 2 Как связанны область определения исходной и область значений обратной функции? Совпадают Независимы

  Вопрос № 3 Какая функция является обратной к логарифмической функции? Степенная Линейная Квадратичная Показательная

  Вопрос № 4 Функция y=arcctg x является обратной для функции y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x

  Вопрос № 5 Тема «Взаимно обратные функции» является Элементарной Моей любимой Легкой Понятной

  Ура! Ура! Ура! Молодец, ученый!

  Ответ неверный Повтори с начала!

  Неверно! Я возмущен твоим ответом!

  Источники Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 384 с. Изучение алгебры и начал анализа в 10-11 классах: Кн. для учителя / Н.Е. Федорова, М.В. Ткачева. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2004. – 205 с. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса: Пособие для учителя / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1998. -143 с. Графики обратных тригонометрических функций http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm

  Цели урока:

  Образовательные:

  Развивающие:

  Воспитательные:

  Просмотр содержимого документа
  «Методическая разработка урока "Взаимно-обратные функции"»

  Урок в 10 классе по теме «Взаимно-обратные функции»

  (по программе Алимова Ш.А.)

  Тип урока : комбинированный.

  Цели урока:

  Образовательные:

  Повторить и обобщить знания обучающихся по теме «Функция», изученные в 9 классе.

  Познакомиться со взаимно обратными функциями, изучить условия существования обратной функции и ее свойства, научиться строить графики обратных функций.

  Развивающие:

  Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества: способность к «видению» проблемы.

  Формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли, исследовать, анализировать, сравнивать, делать выводы.

  Развивать интерес учащихся к самостоятельному творчеству.

  Развивать пространственное воображение учащихся.

  Воспитательные:

  Воспитывать умение работать с имеющейся информацией в необычной ситуации.

  Воспитывать аккуратность и добросовестность.

  Осуществлять эстетическое воспитание.

  Оборудование:

  • мультимедийный проектор;

    приложение к уроку: (Презентация.) – на электронном носителе;

  Средства обучения: компьютеры, программа Excel, медиапроектор, слайдовая презентация.

  Демонстрации: графики функций, построенные в одной системе координат.

  Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, диалог, работа с текстом слайда, исследовательская работа в в тетради.

  Методы: наглядный, словесный, графический, исследовательский.

  Этапы урока:

  Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности. 2 мин

  Повторение пройденного материала по теме «Функции и их графики». 10 мин

  Этап объяснения нового материала. 10 мин

  Операционно-исполнительная часть. Этап закрепления. 10 мин

  Контроль знаний (рабочий лист с тестом на бумажном носителе) 5 мин

  Задание на дом. 1 мин

  Рефлексивно-оценочный этап. 2 мин

  Ход урока.

  1. Вступительное слово учителя. Установочная беседа. Психологический настрой учащихся.

  Сегодняшний урок у вас не совсем обычный: учитель математики Елена Семеновна из Платошинской средней школы, гости – учителя математики и методисты вашей школы и управления образования Пермского района.

  На уроке мы с вами должны повторить и обобщить знания обучающихся по теме «Функция», изученные в 9 классе, познакомиться со взаимно обратными функциями, изучить условия существования обратной функции и ее свойства, научиться строить графики обратных функций. Пожелаем друг другу успехов и плодотворной работы.

  2. Повторение пройденного материала по теме «Функции и их графики». Презентация.

  Слайды 2-10. Фронтальная работа с классом.

  

  

  

  

  

  3. Изучение нового материала. Обучающая беседа с элементами исследования и демонстрацией (слайды 11-24)

  

  4.

  

  

  

  Пример зависимости. Каждому значению функции соответствует одно значение аргумента.

  Для таких функций можно выразить обратную зависимость значений аргумента от значений функции.

  

  

  Задание.

  

  Найдите область определения и область значений взаимно-обратных функций.

  

  

  

  

  4. Закрепление знаний.

  

  

  5. Контроль знаний.

  

  

  6. Задание на дом: изучить стр. 46-50, решить № 132, № 133, № 134

  7. Рефлексивно-оценочный этап.

  На уроке я научился(лась)………………………….

  На уроке мне интересно было …………………....

  Трудно было ………………………………………….

  Знания, полученные на уроке, я могу использовать …………………………………………