Теорема о пределе монотонной функции. Приводится доказательство теоремы, используя два метода. Также даны определения строго возрастающей, неубывающей, строго убывающей и невозрастающей функций. Определение монотонной функции.
СодержаниеФункция не ограничена сверху
1.1. Пусть число b
конечное: .
1.1.2. Пусть функция не ограничена сверху.
.
при .
Обозначим .
Тогда для любого существует ,
так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b
равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов функции в конечной точке»).
b рано плюс бесконечности
Функция ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2.1. Пусть функция ограничена сверху числом M
:
при .
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент ,
для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при .
Тогда при .
Или
при .
Итак, мы нашли, что для любого существует число ,
так что
при .
«Определения односторонних пределов на бесконечности»).
Функция не ограничена сверху
1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b
равно плюс бесконечности: .
1.2.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .
Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M
существует такой аргумент ,
для которого
.
Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при .
Итак, для любого существует число ,
так что
при .
Это означает, что предел при равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов на бесконечности»).
Функция не возрастает
Теперь рассмотрим случай, когда функция не возрастает. Можно, как и выше, рассмотреть каждый вариант по отдельности. Но мы охватим их сразу. Для этого используем . Докажем, что в этом случае существует предел .
Рассмотрим конечную нижнюю грань множества значений функции:
.
Здесь B
может быть как конечным числом, так и бесконечно удаленной точкой .
Согласно определению точной нижней грани, выполняются следующие условия:
;
для любой окрестности точки B
существует такой аргумент ,
для которого
.
По условию теоремы, .
Поэтому .
Поскольку функция не возрастает, то при .
Поскольку ,
то
при .
Или
при .
Далее замечаем, что неравенство определяет левую проколотую окрестность точки b
.
Итак, мы нашли, что для любой окрестности точки ,
существует такая проколотая левая окрестность точки b
,
что
при .
Это означает, что предел слева в точке b
равен :
(см. универсальное определение предела функции по Коши).
Предел в точке a
Теперь покажем, что существует предел в точке a и найдем его значение.
Рассмотрим функцию . По условию теоремы, функция является монотонной при . Заменим переменную x на - x (или сделаем подстановку , а затем заменим переменную t на x ). Тогда функция является монотонной при . Умножая неравенства на -1 и меняя их порядок приходим к выводу, что функция является монотонной при .
Аналогичным способом легко показать, что если не убывает, то не возрастает. Тогда согласно доказанному выше, существует предел
.
Если не возрастает, то не убывает. В этом случае существует предел
.
Теперь осталось показать, что если существует предел функции при ,
то существует предел функции при ,
и эти пределы равны:
.
Введем обозначение:
(1)
.
Выразим f
через g
:
.
Возьмем произвольное положительное число .
Пусть есть эпсилон окрестность точки A
.
Эпсилон окрестность определяется как для конечных, так и для бесконечных значений A
(см. «Окрестность точки»). Поскольку существует предел (1), то, согласно определению предела, для любого существует такое ,
что
при .
Пусть a
- конечное число. Выразим левую проколотую окрестность точки -a
,
используя неравенства:
при .
Заменим x
на -x
и учтем, что :
при .
Последние два неравенства определяют проколотую правую окрестность точки a
.
Тогда
при .
Пусть a
- бесконечное число, .
Повторяем рассуждения.
при ;
при ;
при ;
при .
Итак, мы нашли, что для любого существует такое ,
что
при .
Это означает, что
.
Теорема доказана.
См. также: возрастающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in
X\)
, таких что \(x_1 Функция называется неубывающей
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется убывающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in X\)
, таких что \(x_1 Функция называется невозрастающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in X\)
, таких что \(x_1 \(\blacktriangleright\)
Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными
, а невозрастающие и неубывающие - просто монотонными
. \(\blacktriangleright\)
Основные свойства:
I.
Если функция \(f(x)\)
- строго монотонна на \(X\)
, то из равенства \(x_1=x_2\)
(\(x_1,x_2\in X\)
) следует \(f(x_1)=f(x_2)\)
, и наоборот. Пример: функция \(f(x)=\sqrt x\)
является строго возрастающей при всех \(x\in \)
, поэтому уравнение \(x^2=9\)
имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: \(x=-3\)
. функция \(f(x)=-\dfrac 1{x+1}\)
является строго возрастающей при всех \(x\in (-1;+\infty)\)
, поэтому уравнение \(-\dfrac 1{x+1}=0\)
имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю. III.
Если функция \(f(x)\)
- неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке \(\)
, причем на концах отрезка она принимает значения \(f(a)=A, f(b)=B\)
, то при \(C\in \)
(\(C\in
\)
) уравнение \(f(x)=C\)
всегда имеет хотя бы одно решение. Пример: функция \(f(x)=x^3\)
является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех \(x\in\mathbb{R}\)
, поэтому при любом \(C\in (-\infty;+\infty)\)
уравнение \(x^3=C\)
имеет ровно одно решение: \(x=\sqrt{C}\)
. Задание
1
#3153
Уровень задания: Легче ЕГЭ имеет ровно два корня. Перепишем уравнение в виде: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]
Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\)
. Тогда уравнение перепишется в виде: \
Исследуем функцию \(f(t)\)
. \
Следовательно, функция \(f(t)\)
возрастает при всех \(t\)
. Значит, каждому значению функции \(f(t)\)
соответствует ровно одно значение аргумента \(t\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \
Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \
Ответ:
\(\left(-\infty;\dfrac1{12}\right)\)
Задание
2
#2653
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при которых уравнение \
имеет два корня. (Задача от подписчиков.)
Сделаем замену: \(ax^2-2x=t\)
, \(x^2-1=u\)
. Тогда уравнение примет вид: \
Рассмотрим функцию \(f(w)=7^w+\sqrtw\)
. Тогда наше уравнение примет вид: \
Найдем производную \
Заметим, что при всех \(w\ne 0\)
производная \(f"(w)>0\)
, т.к. \(7^w>0\)
, \(w^6>0\)
. Заметим также, что сама функция \(f(w)\)
определена при всех \(w\)
. Т.к. к тому же \(f(w)\)
непрерывна, то мы можем сделать вывод, что \(f(w)\)
возрастает на всем \(\mathbb{R}\)
. \
Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным: \[\begin{cases} a-1\ne 0\\
4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]
Ответ:
\((-\infty;1)\cup(1;2)\)
Задание
3
#3921
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все положительные значения параметра \(a\)
, при которых уравнение имеет как минимум \(2\)
решения. Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\)
, влево, а содержащие \(x^2\)
– вправо, и рассмотрим функцию Тогда исходное уравнение примет вид: Найдем производную: Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\)
, то \(f"(t)\geqslant 0\)
при любых \(t\in \mathbb{R}\)
. Причем \(f"(t)=0\)
, если \((t-2)^2=0\)
и \(1+\cos{2t}=0\)
одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\)
. Следовательно, \(f"(t)> 0\)
при любых \(t\in \mathbb{R}\)
. Таким образом, функция \(f(t)\)
строго возрастает при всех \(t\in
\mathbb{R}\)
. Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\)
равносильно уравнению \(ax=x^2\)
. Уравнение \(x^2-ax=0\)
при \(a=0\)
имеет один корень \(x=0\)
, а при \(a\ne 0\)
имеет два различных корня \(x_1=0\)
и \(x_2=a\)
. Ответ:
\((0;+\infty)\)
. Задание
4
#1232
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \
имеет единственное решение. Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\)
(т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\)
) и перепишем уравнение в виде: \
Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\)
при \(t\geqslant 0\)
(т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
). Производная \(y"=\left(-2^t\cdot
\log_9{(t+2)}\right)"=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left(\ln 2\cdot
\ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\)
. Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
, то \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. Следовательно, при \(t\geqslant 0\)
функция \(y\)
монотонно убывает. Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\)
, где \(z=ax,
t=\sqrt{x+1}\)
. Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\)
. Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\)
, которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases}
a^2x^2-x-1=0\\
ax \geqslant 0
\end{cases}\]
При \(a=0\)
система имеет одно решение \(x=-1\)
, которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\)
. Рассмотрим случай \(a\ne 0\)
. Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\)
при всех \(a\)
. Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\)
и \(x_2\)
, причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\)
). Это значит, что при \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\)
условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение. Значит, \(a\in \mathbb{R}\)
. Ответ:
\(a\in \mathbb{R}\)
. Задание
5
#1234
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \
имеет хотя бы один корень из отрезка \([-1;0]\)
. Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)
при некотором фиксированном \(a\)
. Найдем ее производную: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)\)
. Заметим, что \(f"(x)\geqslant 0\)
при всех значениях \(x\)
и \(a\)
, причем равна \(0\)
только при \(x=a=1\)
. Но при \(a=1\)
: Значит, при всех \(a\ne 1\)
функция \(f(x)\)
является строго возрастающей, следовательно, уравнение \(f(x)=0\)
может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график \(f(x)\)
при некотором фиксированном \(a\)
будет выглядеть следующим образом: Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка \([-1;0]\)
, необходимо: \[\begin{cases}
f(0)\geqslant 0\\
f(-1)\leqslant 0
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
a(a^2+3)\leqslant 0\\
(a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
a\leqslant 0\\
a\geqslant -2
\end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]
Таким образом, \(a\in [-2;0]\)
. Ответ:
\(a\in [-2;0]\)
. Задание
6
#2949
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2})=0\]
имеет корни. (Задача от подписчиков)
ОДЗ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in
\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad
\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\]
имело решения на ОДЗ. 1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&\sin x=2a+2\\
&\sin x=3\\
\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]
Данное уравнение должно иметь корни на \(\)
. Рассмотрим окружность: Таким образом, мы видим, что для любых \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\)
уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)
уравнение имеет решения. 2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]
Рассмотрим функцию \(f(x)=8x\sqrt{x-x^2}\)
. Найдем ее производную: \
На ОДЗ производная имеет один ноль: \(x=\frac34\)
, который к тому же является точкой максимума функции \(f(x)\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график \(f(x)\)
пересекался с прямой \(y=-a\)
(на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \
. При этих \(x\)
: Функция \(y_1=\sqrt{x-1}\)
является строго возрастающей. Графиком функции \(y_2=5x^2-9x\)
является парабола, вершина которой находится в точке \(x=\dfrac{9}{10}\)
. Следовательно, при всех \(x\geqslant 1\)
функция \(y_2\)
также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то \(f_a(x)\)
– строго возрастает (константа \(3a+8\)
не влияет на монотонность функции). Функция \(g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\)
при всех \(x\geqslant 1\)
представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей. Решить уравнение \(f_a(x)=g_a(x)\)
- значит найти точки пересечения функций \(f\)
и \(g\)
. Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня. При \(x\geqslant 1\)
\(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \
0 \\cup
Ответ:
\(a\in (-\infty;-1]\cup
Аналогичным образом определяется строгое убывание функции \(y = f\left(x \right)\) в точке \({x_0}.\)
Критерий возрастания и убывания функции Снова рассмотрим функцию \(y = f\left(x \right),\) считая ее дифференцируемой на некотором интервале \(\left({a,b} \right).\)
Возрастание или убывание функции на интервале определяется по знаку первой производной
функции.
Теорема 1
. Необходимое условие
. Поскольку \(f"\left(c \right) \ge 0,\) то правая часть равенства неотрицательна. Следовательно,
\
т.е. функция \(y = f\left(x \right)\) является возрастающей на интервале \(\left({a,b} \right).\)
Рассмотрим теперь случаи строгого возрастания
и строгого убывания
функции. Здесь существует похожая теорема, описывающая необходимые и достаточные условия. Опуская доказательство, сформулируем ее для случая
строго возрастающей функции.
Теорема 2
. \(f"\left(x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left({a,b} \right);\) Производная \(f"\left(x \right)\) тождественно не равна нулю ни в каком промежутке
\(\left[ {{x_1},{x_2}} \right] \in \left({a,b} \right).\) На практике (при нахождении интервалов монотонности) обычно используется достаточное условие строгого возрастания
или строгого убывания
функции. Из теоремы \(2\) следует такая формулировка достаточного признака:
Если для всех \(x \in \left({a,b} \right)\) выполняется условие \(f"\left(x \right) > 0\)
всюду в интервале \(\left({a,b} \right),\) кроме возможно лишь некоторых отдельных точек, в которых
\(f"\left(x \right) = 0,\) то функция \(f\left(x \right)\) является строго возрастающей
.
Соответственно, условие \(f"\left(x \right) строго убывающую
функцию.
Число точек, в которых \(f"\left(x \right) = 0,\) является, как правило, конечным.
Согласно теореме \(2\), они не могут плотно заполнять какой-либо промежуток в интервале \(\left({a,b} \right).\)
Приведем также признак строгого возрастания (убывания) функции в точке:
Теорема 3
. Если \(f"\left({{x_0}} \right) > 0\), то функция \(f\left(x \right)\) строго возрастает в точке \({x_0}\); Если \(f"\left({{x_0}} \right) Свойства монотонных функций Возрастающие и убывающие функции обладают определенными алгебраическими свойствами, которые могут оказаться полезными при исследовании
функций. Перечислим некоторые из них:
Значит, равенство \(f(t)=f(u)\)
возможно тогда и только тогда, когда \(t=u\)
. Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:
\
\
\
Нам нужно найти значения \(a\)
, при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что \(a>0\)
.
Следовательно, ответ: \(a\in (0;+\infty)\)
.
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)
уравнение \(2(x-1)^3=0\)
имеет единственный корень \(x=1\)
, не удовлетворяющий условию. Следовательно, \(a\)
не может быть равно \(1\)
.
Заметим, что \(f(0)=f(1)=0\)
. Значит, схематично график \(f(x)\)
выглядит так:
Для того, чтобы функция \(y = f\left(x \right)\) была возрастающей
на
интервале \(\left({a,b} \right),\) необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции была неотрицательной всюду на
данном интервале:
\
Аналогичный критерий действует для случая функции, убывающей
на интервале
\(\left({a,b} \right):\)
\
Докажем обе части теоремы (необходимость и достаточность) для случая возрастающей функции.
Рассмотрим произвольную точку \({x_0} \in \left({a,b} \right).\)
Если функция \(y = f\left(x \right)\) возрастает на \(\left({a,b} \right),\) то по определению можно записать, что
\[\forall\;x \in \left({a,b} \right):x > {x_0} \Rightarrow f\left(x \right) > f\left({{x_0}} \right);\]
\[\forall\;x \in \left({a,b} \right):x
Рассмотрим достаточное условие
, т.е. обратное утверждение.
Пусть производная \(f"\left(x \right)\) функции \(y = f\left(x \right)\) неотрицательна на
интервале \(\left({a,b} \right):\)
\
Если \({x_1}\) и \({x_2}\) − две произвольные точки данного интервала, такие, что \({x_1}теореме Лагранжа
можно записать:
\
где \(c \in \left[ {{x_1},{x_2}} \right],\;\; \Rightarrow c \in \left({a,b} \right).\)
Для того, чтобы дифференцируемая на интервале \(\left({a,b} \right)\) функция была
строго возрастающей
на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
Условие \(1\) содержится в теореме \(1\) и является признаком неубывающей функции. Дополнительное условие \(2\) требуется для того, чтобы исключить участки
постоянства функции, в которых производная функции \(f\left(x \right)\) тождественно равна нулю.
Пусть \({x_0} \in \left({a,b} \right).\)