Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей. Задачи из тестов с решениями Теорема умножения вероятностей

Лекция 1 .

Цели, задачи и структура медицинской и биологической физики. Ее место и роль в системе медицинского образования, межпредметные связи с другими медико-биологическими и клиническими дисциплинами.

Вероятностный характер медико-биологических процессов. Элементы теории вероятностей. Вероятность случайного события. Закон сложения и умножения вероятностей.

Принципы вероятностных подходов к задачам диагностики и прогнозирования заболеваний.

Теория вероятностей

В теории вероятностей исследуются закономерности, относящиеся к случайным событиям, величинам, процессам. Врачи редко задумываются, что постановка диагноза имеет вероятностный характер и, как остроумно замечено, лишь патологоанатомическое исследование может достоверно определить диагноз умершего человека.

§2.1. Случайное событие. Вероятность

Наблюдая различные явления, можно заметить, что существует два типа связей между условиями S и наступлением или ненаступлением некоторого событияА. В одних случаях осуществление комплекса условийS(испытание) непременно вызывает событиеА. Так, например, материальная точка массойт 0 под воздействием силы F (условие S ) приобретает ускорение а = F / m 0 (событие А). В других случаях многократное повторение испытания можетпривести или не привести к появлению события А. Такие события принято называть случайными: к ним можно отнести появление в кабинете врача больного с данной болезнью, выпадение определенной стороны монеты при ее бросании и др.

Не следует думать о случайных явлениях как о беспричинных, ничем не обусловленных. Известно, что многие явления связаны между собой, отдельное явление представляет следствие какого-то другого и само служит причиной последующего. Однако проследить количественно эту связь между условиями и событием часто затруднительно или даже невозможно. Так, при бросании игральной кости (однородный кубик с пронумерованнымишестью гранями: 1, 2, 3, 4, 5 и 6) окончательное положение кубика зависит от движения руки в момент бросания, сопротивления воздуха, положения кубика при попадании на поверхность, особенности поверхности, на которую упал кубик, и других факторов, которые в отдельности учесть невозможно.

В быту применительно к таким случайным событиям употребляют слова «возможно», «вероятно», «маловероятно», «невероятно». В некоторых случаях такая оценка больше характеризует желание говорящего, чем истинную степень возможности или невозможности события. Однако и случайные события, если их число достаточно велико, подчиняются определенным закономерностям. Количественная оценка закономерностей, относящихся к случайным событиям, дается в разделе математики, называемом теорией вероятностей.

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие массовым (статистическим) случайным событиям.

Отдельные исторические факты, «неожиданности», «катастрофы» являются единичными, как бы неповторимыми, событиями, и количественные вероятностные суждения относительно них сделать невозможно. Исторически теория вероятностей появилась в связи с попытками подсчета возможности различных исходов в азартных играх. В настоящее же время она применяется в науке, в том числе биологии и медицине, для оценки вероятности практически важных событий. От игр остались лишь наглядные примеры, которые удобно использовать для иллюстрации теоретических положений.

Статистическое определение вероятности. ВероятностьР(А) в теории вероятностей выступает как числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного случайного события А при многократном повторении испытаний.

Допустим, при 1000 бросаний игральной кости цифра 4 выпадает 160 раз. Отношение 160/1000 = 0,16 показывает относительную частоту выпадания цифры 4 в данной серии испытаний. В более общем случае, когда случайное событие А происходитт раз в сериип независимых испытаний,относительной частотой со бытия в данной серии испытаний или просто частотой события А называют отношение

При большом числе испытаний частота события примерно постоянна: увеличение числа испытаний уменьшает колебание частоты события около постоянной величины.

Вероятностью случайного события назовем предел, к которому стремится частота события при неограниченном увеличении числа испытаний:

(2.2)

Естественно, что никто и никогда не сможет проделать неограниченное число испытаний для того, чтобы определить вероятность. В этом нет и надобности. Практически за вероятность [см. (2.2)] можно принять относительную частоту события при большом числе испытаний. Так, например, из статистических закономерностей рождения, установленных за много лет наблюдений, вероятность того события, что новорожденный будет мальчиком, оценивают в 0,515.

Классическое определение вероятности. Если при испытаниях нет каких-либо причин, вследствие которых одно случайноесобытие появлялось бы чаще других (равновозможные собы тия), можно определить вероятность исходя из теоретических соображений. Например, выясним в случае бросания монеты частоту выпадания герба (событиеА). Разными экспериментаторамипри нескольких тысячах испытаний было показано, что относительная частота такого события принимает значения, близкие к0,5. Учитывая, что появление герба и противоположной стороны монеты (событие В) являются событиями равновозможными, если монета симметрична, суждение Р(А) = Р(В) = 0,5 можно было бы сделать и без определения частоты этих событий. На основе понятия «равновозможности» событий формулируется другое определение вероятности.

Допустим, что в результате испытания должно произойти только одно изп равновозможных несовместных событий(несовместными называют события, если их одновременное осуществление невозможно). Пусть рассматриваемое событие А происходит вт случаях, которые называются благоприятствующими А, ине происходит при остальных п - т, неблагоприятствующих А. Тогдавероятностью можно назвать отношение благоприят ствующих случаев к общему числу равновозможных несов местных событий:

Р(А) = m / n . (2.3)

Это классическое определение вероятности.

Рассмотрим несколько примеров.

1. В урне находится 40 шаров: 10 черных и 30 белых. Найти вероятность того, что вынутый наугад один шар будет черным.

Число благоприятствующих случаев равно числу черных шаров в урне: т = 10. Общее число равновозможных событий (вынимание одного шара) равно полному числу шаров в урне: п = 40. Эти события несовместны, так как вынимается один и только один шар. По формуле (2.3) имеем:

Р(А) = 10/40 = 1/4.

2. Найти вероятность выпадания четного числа при бросании игральной кости.

При бросании кости реализуются шесть равновозможных несовместных событий: появление одной цифры 1, 2, 3, 4, 5 или 6, т. е. п = 6.Благоприятствующими случаями являются выпадания одной из цифр 2, 4 или 6: т = 3. Искомая вероятность:

Р(А) = m / n – 3/6 = 1/2.

Как видно из определений вероятности события (2.2) и (2.3), для всех событий 0  Р(А)  1.

События, которые при данных испытаниях не могут произойти, называются невозможными: их вероятность равна нулю.

Так, например, невозможно из урны с белыми и черными шарами вытащить красный шар, невозможно на игральной кости получить цифру 7.

Событие, которое при данном испытании обязательно произойдет, называется достоверным, его вероятность рав на 1.

Примером достоверного события является извлечение белого шара из урны, в которой находятся только белые шары.

В ряде случаев вычислить вероятность события оказывается проще, если представить его в виде комбинации более простых событий. Этой цели служат некоторые теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей: вероятность появления одного (безразлично какого) события из нескольких несов местных событий равна сумме их вероятностей. Для двух несовместных событий

Р(А илиВ) = Р(А) + Р(В). (2.4)

Докажем эту теорему. Пусть п - общее число испытаний, т 1 - число случаев, благоприятствующих событию А,т 2 - число случаев, благоприятствующих событию В. Число случаев, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m 1 +m 2 . ТогдаР(А илиВ) = (т 1 + т 2 )/п = т 1 /п + т 2 /п. Отсюда, учитывая (2.3), имеем

Р(А илиВ) = Р(А) + Р(В).

* Найти вероятность выпадания 1 или 6 при бросании игральной кости.

События А (выпадание 1) иВ (выпадание 6) являются равновозможными: Р(А) = Р(В) = 1/6, поэтому из (2.4) находимР(А илиВ) =1/6 + 1/6 = 1/3.

Сложение вероятностей справедливо не только для двух, но и для любого числа несовместных событий.

* В урне находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 синих. Найти вероятность появления белого, или черного, или красного шара при однократной операции изъятия шара из урны.

Вероятность вынимания белого шара (событие А) равна Р(А) = 10/50 = 1/5, черного шара (событие В) - Р(В) = 20/50 = 2/5 и красного (событие С) - Р(С) = 5/50 = 1/10. Отсюда по формуле сложения вероятностей получим Р(А или В или С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1/5 + 2/5 + + 1/10= 7/10.

Если два события единственно возможны и несовместны, то их называют противоположными.

Такие события принято обозначать, например, А и .

Сумма вероятностей двух противоположных событий, как следует из теоремы сложения вероятностей, равна еди нице:

(2.5)

*Проиллюстрируем справедливость (2.5) на предыдущем примере. Пусть вынимание белого, или черного, или красного шара будет событиемА 1 , Р(А 1 ) = 7/10. Противоположным событиемявляется доставание синего шара. Так как синих шаров 15, а общее количество шаров 50, то получаемР() = 15/50 = 3/10 иР(А 1 ) + Р() = 7/10 + 3/10 = = 1.

*В урне находятся белые, черные и красные шары. Вероятность доставания черного или красного шара равна 0,4. Найти вероятность доставания из урны белого шара.

Обозначим А событие вынимания черного или красного шара, Р(А) = 0,4; противоположным событием будет изъятие белого шара, тогда на основании (2.5) вероятность этого события Р() = 1 - Р(А) = = 1 - 0,4 = 0,6.

Систему событий (А 1 , А 2 , ... A k ) называют полной, если при испытаниях наступит одно и только одно из этих событий. Сумма вероятностей событий, образующих полную сис тему, равна единице.

* В урне имеется 40 шаров: 20 белых, 15 черных и 5 красных. Вероятность появления белого шара (событие А ) равна Р(А) = 20/40 = 1/2, для черного шара (событие В) - Р(В) = 15/40 = 3/8 и для красного шара (событиеС) - Р(С) = 5/40 = 1/8. В этом случае система событийА 1 , А 2 , А 3 является полной; можно убедиться, что Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1/2 + 3/8 + + 1/8 = 1.

Теорема умножения вероятностей: вероятность совместно го появления независимых событий равна произведению их вероятностей. Для двух событий

Р(А и В) = Р(А) Р(В). (2.6)

Докажем эту теорему. Так как события А и В независимы, то каждому из т 1 случаев, благоприятствующих А, соответствуют т 2 случаев, благоприятствующих В. Таким образом, общее число случаев, благоприятствующих совместному появлению событий А и В, равно т 1 т 2 . Аналогично, общее число равновозможных событий равно п 1 п 2 , где п 1 и п 2 - числа равновозможных событий соответственно для А и В . Имеем

* В одной урне находится 5 черных и 10 белых шаров, в другой 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой урны оба шара окажутся:

1) черными; 2) белыми; 3) в первой урне будет вынут черный шар, а во второй - белый; 4) в первой урне будет вынут белый шар, а во второй - черный.

Вероятность вытаскивания черного шара из первой урны (событие А )равна Р(А) =

= 5/15 = 1/3, черного шара из второй урны (событие В) - Р(В) = 3/20, белого шара из первой урны (событие А") - Р(А") = 10/15 = 2/3 и белого шара из первой урны (событиеВ") -Р(В") = 17/20. Находим вероятность совместного появления двух независимых событий по формуле (2.6):

1) Р(А и В) = Р(А) Р(В) = (1/3) (3/20) = 3/60 - оба шара черные;

2) Р(А" и В") = Р(А") Р(В") = (2/3) (17/20) = 17/30 - оба шара белые;

3) Р(А" и В") = Р(А) Р(В") = (1/3) (17/20)= 17/60 - в первой урне будет вынут черный шар, а во второй - белый;

4) Р(А" и В) = Р(А") Р(В) = (2/3) (3/20) = 1/10 - в первой урне будет вынут белый шар, а во второй - черный.

Все четыре возможных случая А и В , А" и В" , А и В" , А" и В образуют полную систему событий, поэтому

Р(А и В) + Р(А" и В") + Р(А и В") + Р(А" и В) = 3/60 + 17/30 + 17/60 + 1/10 = 1.

* Найти вероятность того, что в семье с тремя детьми все трое сыновья. Считать, что вероятность рождения мальчика равна 0,515 и по каждого последующего ребенка не зависит от пола предыдущих детей.

По теореме умножения вероятностей, Р(А и В иС) = 0,515 0,515 0,515  0,14.

Теорема умножения вероятностей усложняется, если оп ределяется вероятность события, состоящего из совместного появления двух зависимых между собой событий. В том случае, когда событие В выполняется при условии, что собы тие А имело место, вероятность совместного появления двух этих событий равна

Р(А и В) = Р(А) Р(В/А), (2.8)

где Р(В/А) -условная вероятность, т. е. вероятность событияВ при условии, что событиеА состоялось.

* В урне 5 шаров: 3 белых и 2 черных. Найти вероятность того, что последовательно один за другим будут вынуты черный и белый шары.

Вероятность того, что первым будет изъят черный шар (событие А ),равна Р(А) = т/п = 2/5. После удаления черного шара в урне остается 4 шара: 3 белых и 1 черный. В этом случае вероятность вынимания белогошара (событие В после выполнения события А) равна Р(В/А) = 3/4. Используя (2.8), получаем

Р(А и В) = (2/5) (3/4) = 3/10.

Индивидуальные задания по математике

Задача 1

В урне 6 белых шаров, 11 – черных. Одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут:

Решение

1) Вероятность того, что один из вытащенных шаров будет белым равна количеству шансов вытащить белый шар из всей суммы шаров, находящихся в урне. Этих шансов ровно столько сколько белых шаров в урне, а сумма всех шансов равна сумме белых и черных шаров.

Вероятность того, что второй из вытащенных шаров также будет белым равна

Так как один из белых шаров уже вытащен.

Таким образом, вероятность того, что оба вытащенных из урны шара будут белыми равна произведению этих вероятностей, так как эти возможности независимы:

или два черных шара:

3) Вероятность того, что оба вытащенных шара будут разных цветов это – вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черными или того, что первый шар будет черным, а второй – белым. Она равна сумме соответствующих вероятностей.

Ответ: 1)

2) 3) .

Задача 2

В первой урне 6 белых шаров, 11 – черных, во второй – 5 белых и 2 – черных. Из каждой из урн наугад вынимают по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут:

1) белыми, 2) одного цвета, 3) разных цветов.

Решение

1) Вероятность того, что оба шара будут белыми равна произведению вероятности того, что шар вытащенный из первой урны будет белым на вероятность того, что шар вытащенный из второй урны также окажется белым:

2) Вероятность того, что оба вытащенных шара будут одного цвета это – вероятность того, что оба шара будут либо белыми, либо черными. Она равна сумме вероятностей - вытащить два белых шара или два черных шара:

3) Вероятность того, что шар, вытащенный из первой урны будет белым, а шар, вытащенный из второй урны – черным, или наоборот – первый шар будет черным, а второй – белым, равна сумме соответствующих вероятностей:

Ответ: 1)

2) 3) .

Задача 3

Среди 24 лотерейных билетов – 11 выигрышных. Найти вероятность того, что по крайней мере один из 2-х купленных билетов будет выигрышным.

Решение

Вероятность того, что хотя бы один из 24-х купленных билетов окажется выигрышным, равна разности между единицей и вероятностью того, что ни один из купленных билетов не будет выигрышным. А вероятность того, что ни один из купленных билетов не будет выигрышным равна произведению вероятности того, что первый из билетов не будет выигрышным на вероятность того, что и второй билет не будет выигрышным:

Отсюда, вероятность того, что хотя бы один из 24-х купленных билетов окажется выигрышным:

Ответ:

Задача 4

В ящике 6 деталей первого сорта, 5 – второго и 2 – третьего. Наугад берутся две детали. Какова вероятность того, что они обе будут одного сорта?

Решение

Искомая вероятность это – вероятность того, что обе детали будут или 1-го или 2-го или 3-го сорта и равна сумме соответствующих вероятностей:

Вероятность, что обе взятые детали окажутся первого сорта:

Вероятность, что обе взятые детали окажутся второго сорта:

Вероятность, что обе взятые детали окажутся третьего сорта:

Отсюда вероятность вытащить 2 детали одного сорта равна:

Ответ:

Задача 5

В течение часа 0 ≤ t ≤ 1 (t – время в часах) на остановку прибывает один и только один автобус.

Решение

Автобус может прибыть в любой момент t, где 0 ≤ t ≤ 1 (где t – время в часах) или, что то же самое, 0 ≤ t ≤ 60 (где t – время в минутах).

Пассажир прибывает в момент t = 0 и ожидает не более 28 минут.

Возможности прибытия автобуса на станцию в течение этого времени или в течение остальных 32 минут равновероятны, поэтому вероятность того, что пассажиру, прибывшему на эту остановку в момент времени t = 0, придётся ожидать автобус не более 28 минут равна

Ответ:

Задача 8

Вероятность попадания первым стрелком в мишень равна 0,2 , вторым – 0,2 и третьим – 0,2. Все три стрелка одновременно произвели выстрел. Найти вероятность того, что:

1) только один стрелок попадёт в мишень;

2) два стрелка попадут в мишень;

3) хотя бы один попадет в мишень.

Решение

1) Вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень равна вероятности попадания в мишень первым стрелком и промаха вторым и третьим или попадания в мишень вторым стрелком и промаха первым и третьим или попадания в мишень третьим стрелком и промаха первым и вторым, а значит равна сумме соответствующих вероятностей.

Вероятность того, что первый стрелок попадёт в мишень, а второй и третий – промахнутся равна произведению этих вероятностей:

Аналогичные вероятности попадания вторым стрелком в мишень и промаха первым и третьим, а также попадания третьим и промаха первым и вторым:

, .

Отсюда, искомая вероятность:

2) Вероятность того, что два стрелка попадут в мишень равна вероятности попадания в мишень первым и вторым стрелком и промаха третьим или попадания в мишень первым и третьим стрелком и промаха вторым или попадания в мишень вторым и третьим стрелком и промаха первым, а значит равна сумме соответствующих вероятностей.

Вероятность того, что первый и второй стрелки попадут в мишень, а третий – промахнётся равна произведению этих вероятностей:

Аналогичные вероятности попадания первым и третьим стрелком в мишень и промаха вторым, а также попадания вторым и третьим и промаха первым.

Для двух несовместных событий А и В вероятностей этих событий равна сумме их вероятностей:

Р(А или В)=Р(А) + Р(В).

Пример №3: найти вероятность выпадения 1 ил 6 при бросании игральной кости.

Событие А (выпадение 1) и В(выпадение 6) являются равновозможными: Р(А) = Р(В) = 1/6, поэтому Р(А или В) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Сложение вероятностей справедливо не только для двух, но и для любого числа несовместных событий.

Пример №4: в урне находится 50 шаров: 10 белых, 20 черных, 5 красных и 15 синих. Найти вероятность появления белого, или черного, или красного шара при однократной операции изъятия шара из урны.

Вероятность вынимания белого шара (событие А) равна Р(А) = 10/50 = 1/5, черного шара (событие В) равна Р(В) = 20/50 = 2/5 и красного шара (событие С) равно Р(С) = 5/50 = 1/10. Отсюда по формуле сложения вероятностей получим Р(А или В или С) = Р(А) +Р(В) =Р(С) = 1/5 + 2/5 + 1/10 = 7/10

Сумма вероятностей двух противоположных событий, как следует из теоремы сложения вероятностей, равна единице:

Р(А) + Р( ) = 1

В выше рассмотренном примере вынимание белого, черного и красного шара будет событием А 1 , Р(А 1) = 7/10. Противоположным событием 1 является доставание синего шара. Так как синих шаров 15, а общее количество шаров 50, то получаем Р( 1) = 15/50 = 3/10 и Р(А) + Р() = 7/10 +3/10 = 1.

Если события А 1 , А 2 , ..., А n образуют полную систему попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

В общем случае вероятность суммы двух событий А и В вычисляется как

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р (АВ).

Теорема умножения вероятностей:

События А и В называются независимыми , если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет, и наоборот, вероятность появления события В не зависит от того, произошло событие А или нет.

Вероятность совместного появления независимых событий равна произведению их вероятностей . Для двух событий Р(А и В)=Р(А)·Р(В).

Пример: В одной урне 5 черных и 10 белых шаров, в другой 3 черных и 17 белых. Найти вероятность того, что при первом вынимании шаров из каждой урны оба шара окажутся черными.

Решение: вероятность вытаскивания черного шара из первой урны (событие А) – Р(А) = 5/15 = 1/3, черного шара из второй урны (событие В) – Р(В) = 3/20

Р(А и В)=Р(А)·Р(В) = (1/3)(3/20) = 3/60 = 1/20.

На практике нередко вероятность события В зависит оттого, произошло некоторое другое событие А или нет. В этом случае говорят об условной вероятности , т.е. вероятности события В при условии, что событие А произошло. Условную вероятность обозначают P(B/A).

Теорема умножения вероятностей усложняется, если определяется вероятность события, состоящего из совместного появления двух зависимых между собой событий. В том случае, когда событие В выполняется при условии, что событие А имело место, вероятность совместного появления двух этих событий равна

Р(А и В)=Р(А)Р(В/А).

В урне 5 шаров: 3 белых и 2 черных. Найти вероятность того, что последовательно один за другим будут вынуты черный и белый шары.

Вероятность того, что первым будет изъят черный шар (событие А), равна Р(А) = m/n = 2/5. После удаления черного шара в урне остается 4 шара: 3 белых и 1 черный. В этом случае вероятность вынимания белого шара (событие В после выполнения события А) равна Р(В/А) = ¾. Получаем Р(А и В)=Р(А)Р(В/А) = (2/5)(3/4) = 3/10.

Если событие А может произойти только с одним из событий Н 1 ,Н 2 ,…Н n , которые образуют полную систему попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности

Р(А) = Р(А/Н 1)Р(Н 1)+Р(А/Н 2)Р(H 2)+...+Р(А/Н n)Р(Н n).

Для вычисления вероятности P(H i /A) в этом случае используется формула Байесa :

Контрольные вопросы

1.Дайте определение вероятности событий.

2.Какие события называются равновозможными?

3.Какие события называются достоверными?

4.Какие события называются невозможными?

5.Какие события называются противоположными?

6.Сформулируйте классическое определение вероятности.

7.Чему равна вероятность достоверного события? Невозможного события?

8.Назовите формулы сложения и умножения вероятностей.

Домашнее задание

Заполните в рабочей тетради занятие 11-12.

Лекция № 6

Тема: : Основные понятия теории вероятности и математической статистики

Индивидуальные задания по математике

Вероятность того, что второй из вытащенных шаров также будет белым равна

Так как один из белых шаров уже вытащен.

Ответ: 1) 2) 3) .

1) белыми, 2) одного цвета, 3) разных цветов.

Ответ: 1) 2) 3) .

Отсюда, вероятность того, что хотя бы один из 24-х купленных билетов окажется выигрышным:

Ответ:

Вероятность, что обе взятые детали окажутся первого сорта:

Вероятность, что обе взятые детали окажутся второго сорта:

Вероятность, что обе взятые детали окажутся третьего сорта:

Отсюда вероятность вытащить 2 детали одного сорта равна:

В течение часа 0 ≤ t ≤ 1 (t – время в часах) на остановку прибывает один и только один автобус.

Пассажир прибывает в момент t = 0 и ожидает не более 28 минут.

Ответ:

1) только один стрелок попадёт в мишень;

2) два стрелка попадут в мишень;

3) хотя бы один попадет в мишень.

Отсюда, искомая вероятность:

Аналогичные вероятности попадания первым и третьим стрелком в мишень и промаха вторым, а также попадания вторым и третьим и промаха первым:

Отсюда, искомая вероятность:

3) Вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень равна разности между единицей и вероятностью того, что ни один стрелок не попадёт в мишень. Вероятность того, что ни один стрелок не попадёт в мишень равна произведению этих вероятностей:

Ответ: 1) , 2) , 3) .

Студент знает 11 вопросов из 24 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: 1) студент знает все три вопроса; 2) только два вопроса; 3) только один вопрос экзаменационного билета.

1) Вероятность того, что студент знает все три вопроса билета равна произведению вероятностей знания каждого из них. Так как все три вопроса разные и не повторяются, то:

2) Вероятность того, что студент знает только два вопроса билета равна вероятности того, что он знает первый и второй вопрос, а третий – не знает, или, что он знает первый и третий вопрос, а второй – не знает, или, что он знает второй и третий вопрос, а первый – не знает. То есть, эта вероятность равна сумме всех этих вероятностей.

Первое слагаемое этой суммы:

Второе слагаемое этой суммы:

И третье слагаемое этой суммы:

Отсюда искомая вероятность:

3) Вероятность того, что студент знает только один вопрос из трёх равна разности единицы и вероятности того что он не знает ни одного вопроса:

Ответ: 1) , 2) , 3) .

В первой урне 6 белых шаров и 11 – черных, во второй – 5 белых и 2 – черных. Из первой урны переложили во вторую один шар, затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что взятый из второй урны шар оказался: 1) белым, 2) чёрным.

1) Вероятность того, что наугад взятый из первой урны шар и переложенный во вторую окажется белым:

Если шар, переложенный из первой урны во вторую, оказался белым, то белых шаров во второй урне станет шесть. Тогда, вероятность того, что взятый из второй урны шар окажется белым:

Вероятность того, что наугад взятый из первой урны шар и переложенный во вторую окажется чёрным:

Если шар, переложенный из первой урны во вторую, оказался чёрным, то чёрных шаров во второй урне станет три.

Тогда, вероятность того, что взятый из второй урны шар окажется чёрным:

А вероятность обоих этих событий равна произведению этих вероятностей:

Ответ: 1) , 2) .

В первой урне 6 белых и 11 – черных шаров, во второй – 5 белых и 2 – черных, в третьей 7 белых шаров. Произвольно выбирают урну и из неё наугад вынимают шар. Найти вероятность того, что вынутый шар оказался:

1) белым, 2) чёрным.

1) Вероятность выбора одной из трёх урн равна 1 / 3 .

Вероятность вынуть белый шар из первой урны:

Значит, вероятность выбрать первую урну и вытащить из неё белый шар:

Аналогично, вероятность выбрать вторую урну и вытащить из неё белый шар:

Вероятность выбрать третью урну и вытащить из неё белый шар:

Вероятность вытащить белый шар из наугад выбранной урны равна сумме этих вероятностей:

Вероятность выбрать первую урну и вытащить из неё чёрный шар:

Аналогично, вероятность выбрать вторую урну и вытащить из неё чёрный шар:

Вероятность выбрать третью урну и вытащить из неё чёрный шар:

так как в третьей урне все шары – белые.

Вероятность вытащить чёрный шар из наугад выбранной урны равна сумме этих вероятностей:

Ответ: 1) , 2) .

В одной из трёх урн 6 белых и 11 – черных шаров, во второй – 5 белых и 2 – черных, в третьей 7 белых шаров. Наугад выбирают из трёх урн и из неё снова наугад выбирают один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что: 1) шар вынут из первой урны, 2) шар вынут из второй урны, 3) шар вынут из третьей урны?

Для решения данной задачи применим формулу Бейеса, суть которой в следующем: если до опыта вероятности гипотез Н 1 , Н 2 , … Н n были равны Р(Н 1), Р(Н 2), …, Р(Н n), а в результате произошло событие А, то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются по формуле:

Где Р(Н i) – вероятность гипотезы Н i , Р(А|Н i) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Обозначим гипотезы:

Н 1 – выбор первой урны, Н 2 – выбор второй урны, Н 3 – выбор третьей урны.

До начала действий все эти гипотезы равновероятны:

После выбора оказалось, что вытащен белый шар. Найдем условные вероятности:

;

1) По формуле Бейеса апостериорная (после опыта) вероятность того, что шар был вынут из первой урны, равна:

2) Аналогично, вероятность того, что шар был вынут из второй урны, равна:

3) Аналогично, вероятность того, что шар был вынут из третьей урны, равна:

1) ,

2) ,

3) .

Из 24 студентов, которые пришли на экзамен по математике, 6 подготовлены отлично, 11 – хорошо, 5 – посредственно, 2 – плохо. В экзаменационных билетах 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на все три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1) отлично, 2) плохо.

Для решения данной задачи применим формулу Бейеса:

Где Р(Н i) – вероятность гипотезы Н i ,

Р(А|Н i) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Обозначим гипотезы:

Н 1 – студент подготовлен отлично, Н 2 – студент подготовлен хорошо,

Н 3 – студент подготовлен посредственно, Н 4 – студент подготовлен плохо.

До начала экзамена априорные вероятности этих гипотез:

, , ,

После экзаменационной проверки одного из студентов оказалось, что он ответил на все три вопроса. Найдем условные вероятности, то есть вероятности ответить на все три вопроса студентом из каждой группы успеваемости:

, ,

, .

1) По формуле Бейеса апостериорная (после экзамена) вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично, равна:

2) Аналогично, вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо, равна:

1) Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен отлично:

2) Вероятность того, что вызванный студент был подготовлен плохо:

Монета подбрасывается 11 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: 1) 2 раза, 2) не более 2-х раз, 3) не менее одного и не более 2-х раз.

Если опыт проводится n раз, а событие при этом каждый раз появляется с вероятностью р (и, соответственно, не появляется с вероятностью 1– р = q), то вероятность появления этого события m раз оценивается с помощью формулы биномиального распределения:

Число сочетаний из n элементов по m.

1) В данном случае р = 0,5 (вероятность выпадения герба),

q = 1 – р =0,5 (вероятность выпадения решки),

Отсюда, вероятность выпадения герба 2 раза:

2) в данном случае событие (герб) может появится 0 раз, 1 раз или 2 раза, значит искомая вероятность:

3) в этом случае событие (герб) может появится 1 раз или 2 раза, значит искомая вероятность:

Вероятность того, что герб выпадет:

1) ровно 2 раза равна

2) не более 2-х раз:

3) не менее одного и не более 2-х раз:

По каналу связи передаётся 11 сообщений, каждое из которых независимо от других с вероятностью р = 0,2 искажается помехами. Найти вероятность того, что: 1) из 11 сообщений ровно 2 будет искажено помехами,

2) все сообщения будут приняты без искажений, 3) не менее двух сообщений будет искажено.

1) здесь р = 0,2 (вероятность искажения),

q = 1 – р =0,8 (вероятность неискажения),

2) Вероятность принятия всех 11 сообщений без искажения равна произведению всех вероятностей принятия каждого из них без искажения:

3) Искажение не менее двух сообщений означает, что искажены могут быть два или одно или ни одного сообщения:

Вероятность того, что:

1) из 11 сообщений будет искажено ровно 2 равна ,

Ничего другого, кроме как опять же события и. Действительно, имеем: *=, *=, =, =. Другим примером алгебры событий L является совокупность из четырех событий: . В самом деле: *=,*=,=,. 2.Вероятность. Теория вероятностей изучает случайные события. Это значит, что до определенного момента времени, вообще говоря, нельзя сказать заранее о случайном событии А произойдет это событие или нет. Только...