Арифметическая прогрессия (9 класс): формулы, примеры. Записи с меткой "9 класс арифметическая прогрессия" II

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.

Русский ученый, механик Н.Е. Жуковский

Весьма распространенными задачами на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием арифметической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо хорошо знать свойства арифметической прогрессии и иметь определенные навыки их применения.

Предварительно напомним основные свойства арифметической прогрессии и приведем наиболее важные формулы , связанные с этим понятием.

Определение. Числовая последовательность , в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число , называется арифметической прогрессией. При этом число называется разностью прогрессии.

Для арифметической прогрессии справедливы формулы

, (1)

где . Формула (1) называется формулой общего члена арифметической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним арифметическим своих соседних членов и .

Отметим, что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «арифметической».

Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом:

(3)

Для вычисления суммы первых членов арифметической прогрессии обычно применяется формула

(5) где и .

Если принять во внимание формулу (1 ), то из формулы (5) вытекает

Если обозначить , то

где . Так как , то формулы (7) и (8) являются обобщением соответствующих формул (5) и (6).

В частности , из формулы (5) следует , что

К числу малоизвестных большинству учащихся относится свойство арифметической прогрессии, сформулированное посредством следующей теоремы.

Теорема. Если , то

Доказательство. Если , то

Теорема доказана.

Например , используя теорему , можно показать , что

Перейдем к рассмотрению типовых примеров решения задач на тему «Арифметическая прогрессия».

Пример 1. Пусть и . Найти .

Решение. Применяя формулу (6), получаем . Так как и , то или .

Пример 2. Пусть в три раза больше , а при делении на в частном получается 2 и в остатке 8. Определить и .

Решение. Из условия примера вытекает система уравнений

Так как , , и , то из системы уравнений (10) получаем

Решением данной системы уравнений являются и .

Пример 3. Найти , если и .

Решение. Согласно формуле (5) имеем или . Однако, используя свойство (9), получаем .

Так как и , то из равенства вытекает уравнение или .

Пример 4. Найти , если .

Решение. По формуле (5) имеем

Однако, используя теорему, можно записать

Отсюда и из формулы (11) получаем .

Пример 5 . Дано: . Найти .

Решение. Так как , то . Однако , поэтому .

Пример 6. Пусть , и . Найти .

Решение. Используя формулу (9), получаем . Поэтому, если , то или .

Так как и , то здесь имеем систему уравнений

Решая которую, получаем и .

Натуральным корнем уравнения является .

Пример 7. Найти , если и .

Решение. Так как по формуле (3) имеем, что , то из условия задачи вытекает система уравнений

Если подставить выражение во второе уравнение системы , то получим или .

Корнями квадратного уравнения являются и .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть , тогда . Поскольку и , то .

В таком случае, согласно формуле (6), имеем

2. Если , то , и

Ответ: и .

Пример 8. Известно, что и . Найти .

Решение. Принимая во внимание формулу (5) и условие примера, запишем и .

Отсюда следует система уравнений

Если первое уравнение системы умножим на 2, а затем сложим его со вторым уравнением, то получим

Согласно формуле (9) имеем . В этой связи из (12) вытекает или .

Поскольку и , то .

Ответ: .

Пример 9. Найти , если и .

Решение. Поскольку , и по условию , то или .

Из формулы (5) известно , что . Так как , то .

Следовательно , здесь имеем систему линейных уравнений

Отсюда получаем и . Принимая во внимание формулу (8), запишем .

Пример 10. Решить уравнение .

Решение. Из заданного уравнения следует, что . Положим, что , , и . В таком случае .

Согласно формуле (1), можно записать или .

Так как , то уравнение (13) имеет единственный подходящий корень .

Пример 11. Найти максимальное значение при условии, что и .

Решение. Так как , то рассматриваемая арифметическая прогрессия является убывающей. В этой связи выражение принимает максимальное значение в том случае, когда является номером минимального положительного члена прогрессии.

Воспользуемся формулой (1) и тем фактом , что и . Тогда получим , что или .

Поскольку , то или . Однако в этом неравенстве наибольшее натуральное число , поэтому .

Если значения , и подставить в формулу (6), то получим .

Ответ: .

Пример 12. Определить сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на число 6 дают в остатке 5.

Решение. Обозначим через множество всех двузначных натуральных чисел, т.е. . Далее, построим подмножество , состоящее из тех элементов (чисел) множества , которые при делении на число 6 дают в остатке 5.

Нетрудно установить , что . Очевидно , что элементы множества образуют арифметическую прогрессию , в которой и .

Для установления мощности (числа элементов) множества положим, что . Так как и , то из формулы (1) следует или . Принимая во внимание формулу (5), получим .

Приведенные выше примеры решения задач ни в коем случае не могут претендовать на исчерпывающую полноту. Настоящая статья написана на основе анализа современных методов решения типовых задач на заданную тему. Для более глубокого изучения методов решения задач, связанных с арифметической прогрессией, целесообразно обратиться к списку рекомендуемой литературы.

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.

3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с.

Остались вопросы?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Тема

Арифметическая прогрессия

ЦЕЛЬ :

научить узнавать арифметическую прогрессию, используя её определение и признак;
научить решать задачи, используя определение, признак, формулу общего члена прогрессии.

ЗАДАЧИ УРОКА:

дать определение арифметической прогрессии, доказать признак арифметической прогрессии и научить применять их в решении задач.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:

актуализация знаний учащихся, самостоятельная работа, индивидуальная работа, создание проблемной ситуации.

СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ:

ИКТ, проблемное обучение, дифференцированное обучение, здоровьесберегающие технологии.

ПЛАН УРОКА

	Этапы занятия.	Время реализации.
	Организационный момент.	2 минуты
	Повторение пройденного	5минут
	Изучение нового материала	15 минут
	Физкультминутка	3 минуты
	Выполнение заданий по теме	15минут
	Домашнее задание	2минуты
	Подведение итогов	3минуты

ХОД УРОКА:

На прошлом уроке мы познакомились с понятием «Последовательность».

Сегодня продолжим изучать числовые последовательности, дадим определение некоторым из них, познакомимся с их свойствами и признаками.

Ответьте на вопросы: Что такое последовательность?

Какие последовательности бывают?

Какими способами можно задать последовательность?

Что такое числовая последовательность?

Какие способы задания числовой последовательности вы знаете? Какая формула называется рекуррентной?

Даны числовые последовательности:

1, 2, 3, 4, 5, …
2, 5, 8, 11, 14,…
8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Найдите закономерность каждой последовательности и назовите следующие три члена каждой из них.

a n = a n -1 +1
a n = a n -1 + 3
a n = a n -1 + (-2)
a n = a n -1 + 0,5

Назовите рекуррентную формулу для каждой последовательности.

Слайд 1

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Число d называется разностью арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия это числовая последовательность, поэтому может быть возрастающей, убывающей, постоянной. Приведите примеры таких последовательностей, назовите разность каждой прогрессии, сделайте вывод.

Выведем формулу общего члена арифметической прогрессии.

На доске: пусть а 1 -первый член прогрессии, d-её разность, тогда

а 2 =а 1 +d

а 3 =(а 1 +d)+d=a 1 +2d

а 4 =(а 1 +2d)+d=a 1 +3d

a 5 =(a 1 +3d)+d=a 1 +4d

a n =a 1 +d (n-1) - формула п-ого члена арифметической прогрессии.

Решите задачу: В арифметической прогрессии первый член равен 5, а разность равна 4.

Найдите 22 член этой прогрессии.

Ученик решает на доске: а n =a 1 +d(n-1)

A 22 =a 1 +21d=5+21*4=89

Физкультминутка.

Встали.

Руки на поясе. Наклоны влево, вправо, (2 раза);

Наклоны вперёд, назад (2 раза);

Подняли руки вверх, глубокий вдох, опустили руки вниз, выдох. (2 раза)

Встряхнули кисти рук. Спасибо.

Сели. Продолжаем урок.

Решаем задачи на применение формулы общего члена арифметической прогрессии.

Учащимся предлагаются следующие задачи:

В арифметической прогрессии первый член равен -2, d=3, a n =118.

Найти n.

В арифметической прогрессии первый член равен 7, пятнадцатый член равен –35. Найти разность.
Известно, что в арифметической прогрессии d=-2, a39=83. Найти первый член прогрессии.

Учащиеся разделены на группы. Задание даётся на 5 минут. Далее первые 3 ученика, решившие задачи, решают их на доске. Решение дублируется на слайдах.

Рассмотрим характеристические свойства арифметической прогрессии.

В арифметической прогрессии

a n -d=a (n-1)

a n +d=a (n+1)

Cложим почленно эти два равенства, получим: 2а n =a (n+1) +a (n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1 ))/2

Это значит, что каждый член арифметической прогрессии, кроме первого и последнего равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

ТЕОРЕМА:

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего- в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии).

Понимание многих тем по математике и физике связано со знанием свойств числовых рядов. Школьники в 9 классе при изучении предмета "Алгебра" рассматривают одну из важных последовательностей чисел - арифметическую прогрессию. Приведем основные формулы арифметической прогрессии (9 класс), а также примеры их использования для решения задач.

Алгебраическая или арифметическая прогрессия

Числовой ряд, который будет рассмотрен в данной статье, называют двумя разными способами, представленными в названии этого пункта. Итак, под прогрессией арифметической в математике понимают такой числовой ряд, в котором стоящие рядом любые два числа отличаются на одну и ту же величину, носящую название разности. Числа в таком ряду принято обозначать буквами с нижним целочисленным индексом, например, a1, a2, a3 и так далее, где индекс указывает номер элемента ряда.

Формулы арифметической прогрессии (9 класс школы)

Рассматриваемый ряд чисел, поскольку является упорядоченным и подчиняется некоторому математическому закону, обладает двумя важными для его использования свойствами:

Во-первых, зная всего два числа a1 и d, можно найти любой член последовательности. Это делается с помощью такой формулы: an = a1+(n-1)*d.

Во-вторых, для вычисления суммы n членов первых не обязательно складывать их по порядку, поскольку можно воспользоваться следующей формулой: Sn = n*(an+a1)/2.

Первую формулу понять просто, так как она является прямым следствием того, что каждый член рассматриваемого ряда отличается от своего соседа на одинаковую разность.

Вторая формула арифметической прогрессии может быть получена, если обратить внимание на то, что сумма a1+an оказывается эквивалентной суммам a2+an-1, a3+an-2 и так далее. Действительно, поскольку a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1, и an-1 = -d+an, то подставляя эти выражения в соответствующие суммы, получим, что они будут одинаковыми. Множитель n/2 во 2-й формуле (для Sn) появляется из-за того, что сумм типа ai+1+an-i оказывается ровно n/2, здесь i - целое число, пробегающее значения от 0 до n/2-1.

Согласно сохранившимся историческим свидетельствам, формулу для суммы Sn впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик), когда перед ним была поставлена задача школьным учителем сложить первые 100 чисел.

Пример задачи №1: найдите разность

Задачи, в которых ставится вопрос следующим образом: зная формулы арифметической прогрессии, как найти д (d), являются самыми простыми, которые только могут быть для этой темы.

Приведем такой пример: дана числовая последовательность -5,-2, 1, 4, ..., необходимо определить ее разность, то есть d.

Сделать это проще простого: необходимо взять два элемента и из большего по счету вычесть меньший. В данном случае имеем: d = -2 - (-5) = 3.

Чтобы быть наверняка уверенным в полученном ответе, рекомендуется проверить остальные разности, поскольку представленная последовательность может не удовлетворять условию прогрессии алгебраической. Имеем: 1-(-2)=3 и 4-1=3. Эти данные говорят о том, что мы получили правильный результат (d=3) и доказали, что ряд чисел в условии задачи действительно представляет собой прогрессию алгебраическую.

Пример задачи №2: найдите разность, зная два члена прогрессии

Рассмотрим еще одну интересную задачу, которая ставится вопросом, как найти разность. Формулу арифметической прогрессии в этом случае необходимо использовать для n-ного члена. Итак, задача: даны первое и пятое числа ряда, который соответствует всем свойствам алгебраической прогрессии, например, это числа a1 = 8 и a5 = -10. Как найти разность d?

Начинать решение этой задачи следует с записи общего вида формулы для n-ного элемента: an = a1+d*(-1+n). Теперь можно пойти двумя путями: либо подставить сразу числа и работать уже с ними, либо выразить d, а затем переходить к конкретным a1 и a5. Воспользуемся последним способом, получаем: a5 = a1+d*(-1+5) или a5 = 4*d+a1, откуда следует, что d = (a5-a1)/4. Теперь можно спокойно подставить известные данные из условия и получить конечный ответ: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Заметим, что в данном случае разность прогрессии оказалась отрицательной, то есть имеет место убывающая последовательность чисел. На этот факт необходимо обращать внимание при решении задач, чтобы не перепутать знаки "+" и "-". Все формулы, приведенные выше, являются универсальными, поэтому всегда следует их соблюдать независимо от знака чисел, с которыми осуществляются операции.

Пример решения задачи №3: найдите a1, зная разность и элемент

Изменим немного условие задачи. Пусть имеются два числа: разность d=6 и 9-й элемент прогрессии a9 = 10. Как найти а1? Формулы арифметической прогрессии остаются неизменными, воспользуемся ими. Для числа a9 имеем следующее выражение: a1+d*(9-1) = a9. Откуда легко получаем первый элемент ряда: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

Пример решения задачи №4: найдите a1, зная два элемента

Этот вариант задачи является усложненной версией предыдущего. Суть заключается в том же самом, необходимо вычислить a1, однако теперь разность d не известна, а вместо нее дан еще один элемент прогрессии.

Примером такого типа задач может служить следующий: найдите первое число последовательности, для которой известно, что она является прогрессией арифметической, и что ее 15-й и 23-й элементы равны 7 и 12, соответственно.

Решать эту задачу необходимо с записи выражения для n-ного члена для каждого известного из условия элемента, имеем: a15 = d*(15-1)+a1 и a23 = d*(23-1)+a1. Как видно, мы получили два линейных уравнения, которые нужно разрешить относительно a1 и d. Поступим так: вычтем из второго уравнения первое, тогда получим такое выражение: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. При получении последнего уравнения были опущены значения a1, поскольку они сокращаются при вычитании. Подставляя известные данные, находим разность: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Значение d необходимо подставить в любую формулу для известного элемента, чтобы получить первый член последовательности: a15 = 14*d+a1, откуда: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75.

Проверим полученный результат, для этого найдем a1 через второе выражение: a23 = d*22+a1 или a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Пример решения задачи №5: найдите сумму n элементов

Как можно было заметить, до этого момента для решения использовалась всего одна формула арифметической прогрессии (9 класс). Теперь приведем задачу, для решений которой понадобиться знание второй формулы, то есть для суммы Sn.

Имеется следующая упорядоченный ряд чисел -1,1, -2,1, -3,1,..., нужно вычислить сумму ее 11 первых элементов.

Из данного ряда видно, что он является убывающим, и a1 = -1,1. Его разность равна: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Теперь определим 11-й член: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Выполнив подготовительные вычисления, можно воспользоваться отмеченной выше формулой для суммы, имеем: S11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Поскольку все слагаемые являлись отрицательными числами, то и их сумма имеет соответствующий знак.

Пример решения задачи №6: найдите сумму элементов от n до m

Пожалуй, этот тип задач является самым сложным для большинства школьников. Приведем типичный пример: дан ряд чисел 2, 4, 6, 8 ..., необходимо найти сумму с 7-го по 13-й членов.

Формулы арифметической прогрессии (9 класс) используются точно такие же, как и во всех задачах ранее. Эту задачу рекомендуется решать поэтапно:

Сначала найти сумму 13 членов по стандартной формуле.

Затем рассчитать эту сумму для 6 первых элементов.

После этого вычесть из 1-й суммы 2-ю.

Приступим к решению. Так же как и в предыдущем случае, проведем подготовительные вычисления: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Вычислим две суммы: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Берем разницу и получаем искомый ответ: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Отметим, что при получении этого значения использовалась в качестве вычитаемого именно сумма 6 элементов прогрессии, поскольку 7-й член входит в сумму S7-13.

Алгебраическая или арифметическая прогрессия

Числовой ряд, который будет рассмотрен в данной статье, называют двумя разными способами, представленными в названии этого пункта. Итак, под прогрессией арифметической в математике понимают такой числовой ряд, в котором стоящие рядом любые два числа отличаются на одну и ту же величину, носящую название разности. Числа в таком ряду принято обозначать буквами с нижним целочисленным индексом, например, a 1 , a 2 , a 3 и так далее, где индекс указывает номер элемента ряда.

Учитывая данное выше определение прогрессии арифметической, можно записать следующее равенство: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, здесь d - разность прогрессии алгебраической и n - любое целое число. Если d>0, то можно ожидать, что каждый последующий член ряда будет больше предыдущего, в этом случае говорят о возрастающей прогрессии. Если d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Формулы арифметической прогрессии (9 класс школы)

Во-первых, зная всего два числа a 1 и d, можно найти любой член последовательности. Это делается с помощью такой формулы: a n = a 1 +(n-1)*d.
Во-вторых, для вычисления суммы n членов первых не обязательно складывать их по порядку, поскольку можно воспользоваться следующей формулой: S n = n*(a n +a 1)/2.

Вторая формула арифметической прогрессии может быть получена, если обратить внимание на то, что сумма a 1 +a n оказывается эквивалентной суммам a 2 +a n-1 , a 3 +a n-2 и так далее. Действительно, поскольку a 2 = d+a 1 , a n-2 = -2*d+a n , a 3 = 2*d+a 1 , и a n-1 = -d+a n , то подставляя эти выражения в соответствующие суммы, получим, что они будут одинаковыми. Множитель n/2 во 2-й формуле (для S n) появляется из-за того, что сумм типа a i+1 +a n-i оказывается ровно n/2, здесь i - целое число, пробегающее значения от 0 до n/2-1.

Согласно сохранившимся историческим свидетельствам, формулу для суммы S n впервые получил Карл Гаусс (знаменитый немецкий математик), когда перед ним была поставлена задача школьным учителем сложить первые 100 чисел.

Пример задачи №1: найдите разность

Пример задачи №2: найдите разность, зная два члена прогрессии

Рассмотрим еще одну интересную задачу, которая ставится вопросом, как найти разность. Формулу арифметической прогрессии в этом случае необходимо использовать для n-ного члена. Итак, задача: даны первое и пятое числа ряда, который соответствует всем свойствам алгебраической прогрессии, например, это числа a 1 = 8 и a 5 = -10. Как найти разность d?

Начинать решение этой задачи следует с записи общего вида формулы для n-ного элемента: a n = a 1 +d*(-1+n). Теперь можно пойти двумя путями: либо подставить сразу числа и работать уже с ними, либо выразить d, а затем переходить к конкретным a 1 и a 5 . Воспользуемся последним способом, получаем: a 5 = a 1 +d*(-1+5) или a 5 = 4*d+a 1 , откуда следует, что d = (a 5 -a 1)/4. Теперь можно спокойно подставить известные данные из условия и получить конечный ответ: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Пример решения задачи №3: найдите a1, зная разность и элемент

Изменим немного условие задачи. Пусть имеются два числа: разность d=6 и 9-й элемент прогрессии a 9 = 10. Как найти а1? Формулы арифметической прогрессии остаются неизменными, воспользуемся ими. Для числа a 9 имеем следующее выражение: a 1 +d*(9-1) = a 9 . Откуда легко получаем первый элемент ряда: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.

Пример решения задачи №4: найдите a1, зная два элемента

Этот вариант задачи является усложненной версией предыдущего. Суть заключается в том же самом, необходимо вычислить a 1 , однако теперь разность d не известна, а вместо нее дан еще один элемент прогрессии.

Решать эту задачу необходимо с записи выражения для n-ного члена для каждого известного из условия элемента, имеем: a 15 = d*(15-1)+a 1 и a 23 = d*(23-1)+a 1 . Как видно, мы получили два линейных уравнения, которые нужно разрешить относительно a 1 и d. Поступим так: вычтем из второго уравнения первое, тогда получим такое выражение: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. При получении последнего уравнения были опущены значения a 1 , поскольку они сокращаются при вычитании. Подставляя известные данные, находим разность: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Значение d необходимо подставить в любую формулу для известного элемента, чтобы получить первый член последовательности: a 15 = 14*d+a 1 , откуда: a 1 =a 15 -14*d = 7-14*0,625 = -1,75.

Проверим полученный результат, для этого найдем a 1 через второе выражение: a 23 = d*22+a 1 или a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Пример решения задачи №5: найдите сумму n элементов

Имеется следующая упорядоченный ряд чисел -1,1, -2,1, -3,1,..., нужно вычислить сумму ее 11 первых элементов.

Из данного ряда видно, что он является убывающим, и a 1 = -1,1. Его разность равна: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Теперь определим 11-й член: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Выполнив подготовительные вычисления, можно воспользоваться отмеченной выше формулой для суммы, имеем: S 11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Поскольку все слагаемые являлись отрицательными числами, то и их сумма имеет соответствующий знак.

Пример решения задачи №6: найдите сумму элементов от n до m

Сначала найти сумму 13 членов по стандартной формуле.
Затем рассчитать эту сумму для 6 первых элементов.
После этого вычесть из 1-й суммы 2-ю.

Вычислим две суммы: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Берем разницу и получаем искомый ответ: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Отметим, что при получении этого значения использовалась в качестве вычитаемого именно сумма 6 элементов прогрессии, поскольку 7-й член входит в сумму S 7-13 .