Примеры конформных отображений. Глава iii

Решении прикладных задач часто возникает необходимость преобразовать заданную область в область более простого вида, причем так, чтобы сохранялись углы между кривыми. Преобразования, наделенные таким свойством, позволяют успешно решать задачи аэро- и гидродинамики, теории упругости, теории полей различной природы и многие другие. Мы ограничимся преобразованиями плоских областей. Непрерывное отображение го = /(г) плоской области в область на плоскости называется конформным в точке, если в этой точке оно обладает свойствами постоянства растяжения и сохранения углов. Открытыеобласти и называютсяконформноэквивапентными,если существует взаимнооднозначное отображение одной из этих областей на другую, конформное в каждой точке. Теорема Римана. Любые две плоские открытые односвязные области, границы которых состоят более чем из одной точки, конформно эквивалентны. Основной проблемой при решении конкретных задач является построение по заданным плоским областям явного взаимно однозначного конформного отображения одной из них на другую. Один изспособоврешенияэтой проблемы в плоском случае - привлечение аппарата теории функций комплексного переменного. Какужеотмечалось выше, однолистная аналитическаяфункция с отличной от нуля производной осуществляет конформное отображение своей области задания на ее образ. При построении конформных отображений весьма полезно следующее правило. Принцип соответствия границ. Пусть в односвязной области Я) комплексной плоскости z, ограниченной контуром 7, задана однозначная аналитическая функция w = f(z), непрерывная в замыкании 9) и отражающая контур 7 на некоторый контур 7" комплексной п/юскости w. Если при этом сохраняется направления обхода контура, то функция w - f(z) осуществляет конформное отображение области комплексной плоскости z на область З1 комплексной плоскости w, ограниченную контуром 7" (рис. 1). Цель настоящего параграфа состоит в том, чтобы, используя найденные ранее области однолистности основных элементарных фуннций комплексного переменного, научиться строить конформные отображения открытых одно-связных плосжх областей, часто встречающихся в приложениях, надвестан- КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ дартныс области - верхнюю полуплоскость и единичный круг (рис. 2). Для более эффективного использо- Рис.2 вания приводимой ниже таблицы полезны некоторые простейшие преобразования комплексной плоскости. Преобразования плоскости, осуществляющие: 1. параллельный перенос (сдвиг на заданное комплексное число а) (рис. 3), Рис.3 2. поворот (на заданный угол 3. растяжение (fc > 1) ил и сжатие (рис. 5). Тем самым, преобразование вида 0 любой круг можно сделать единичным кругом с центром в нуле (рис. 6), любую полуплоскость можосделать верхней полуплоскостью, любой отрезок прямой можно преобразовать в отрезок вещественной оси (рис. 14). 2. Указанная область приведена в таблице под № 22. Применяя дробно-линейное преобразование преобразуем эту область в плоасость с разрезом по лучу Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +«>(Плоскость с разрезами по действительным лучам J -оо, 0] и (I, +оо[ Плоскость с разрезом по действительному лучу Плоскость с разрезом по отрезку (О, 1J № 21 1лоскость с разрезами ю лучам, лежащим ia прямой, проходящей через ачало координат по действительным лучам ]-«ю, 0] и (1. Плоскость с разрезом по действительному лучу (0, +во(Плоскость с разрезом по дуге окружности Ixl - 1, lm z > О Плоскость с разрезом по дуге окруж ности III - I, Re z > О Плоскость с разрезом по действительн ому лучу (0, Плоскость с разрезом no дуге окруж ности Плоскость с разрезом по действительному лучу [С, + со [ № 25 Полуплоскость с разрезами Полуплоскость l с разрезом по отрезку с разрезом по мнимому лучу Круг с разрезами Круг 1 с разрезом по отрезку (1/2, 1J №30 Плоскость с разрезом по отрезку {-1, 5/4] Круг Izl с разрезами по отрезкам (-1. -1/2] и (1/2, 1] № 31 Плоскость с разрезами по отрезиам I -5/4, 5/4] Круг Ijl симметричными разрезами по мнимой оси Круг lie с симметричными разрезами по действительной оси Внешность круга с разрезами Внешность единичного круга I с разрезом по отрезку и 11, 2) №34 Плоскость с разрезом по отрезку [ -1, 5/4] Плоскость с разрезом по отрезку I - 5/4, 3/4] w = e"^z Внешность единичного круга Izl > 1 с разрезами по отрезкам, являющимися продолжениями его диаметра Внешность единичного круга Iwl > 1 с разрезами по отрезкам, лежащим на действительной оси Полуируг с разрезами -г2 Nfc 36 Круг Iwl с разрезом по отрезку [ -1/4, 1] Полукруг, с разрезом по отрезку (0, i/2) Полукруг, с разрезом по отрезку (рис. 13). При этом области

(нижний полукруг и верхняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в верхнюю полуплоскость , а области (верхний по-лукруг и нижняя полуплоскость с выкинутым полукругом) переходят в нижнюю полуплоскость .

7. - дробно-линейная функция. Ее основные свойства приведены в теоретической части занятий 7, 8.

На практике часто встречаются области следующих типов, которые бывает надо отобразить конформно на верхнюю полуплоскость.

1. Области, границы которых имеют две угловые точки (рис. 14).

Используя какую-нибудь дробно-линейную функцию, отобразить

одну из угловых точек в 0, а другую в , после чего получится угол с вершиной в начале координат. Далее осуществить поворот и применить степенную функцию.

2. Круг, внешность круга или полукруг с разрезом (рис. 15).

Применить преобразование подобия и функцию Жуковского, после чего получится плоскость или полуплоскость с разрезами.

3. Области, ограниченные окружностями (прямыми) или дугами окружностей, которые имеют точку касания (рис. 16).

Используя дробно-линейную функцию, отобразить точку касания в , после чего получится полоса или полуполоса. Далее применить показательную функцию.

4. Области, границы которых имеют три и более угловых точек (рис.17).

Используя степенную функцию, выпрямить некоторые из углов.

Задачи

1. Найти образ прямой при отображении .

Решение . Пусть Тогда из условия Re z = и равенства , т.е. равенства имеем х = , откуда, исключая x и y, получим . Следовательно, образом прямой Re z = будет парабола .

2. Найти образы прямых при отображении .

Решение . Считая , из равенства

находим: . Присоединяя к этим равенствам условие и исключая из полученных равенств х и у, получим . Это уравнение описывает логарифмическую спираль при и луч при = 0.

3. Найти образ верхней полуплоскости с разрезом по отрезку , при отображении .

Решение. Функция отображает верхнюю полуплоскость, рассматриваемую как угол , на угол , т.е. на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси . Из этой области надо выкинуть еще образ отрезка при отображении . Отрезок задается условиями х = 0, . Из этих условий и равенств полу-чаемых из равенства , исключая х и у, получим: . Значит, образом отрезка будет отрезок , а образом исходной области будет плоскость с разрезом по лучу .

4. Найти какие-нибудь конформные отображения на верхнюю полуплоскость Im z > 0 следующих областей:

в) плоскость с разрезом по лучам и ;

г) верхнюю полуплоскость с разрезом по отрезку ;

д) внешность единичного круга с центром в точке 0 и с разрезом по лучу ;

е) верхнюю половину единичного круга с разрезом по отрезку ;

ж) сектор ;

з) полуполосу ;

л) полосу с разрезом по лучу .

Решение. Последовательности отображений, с помощью которых осуществляются конформные отображения заданных областей на верхнюю полуплоскость, а также области, получаемые при этих отображениях, указаны на следующих рисунках.

Границы заданной области имеет две угловые точки -1 и 1, которые с помощью функции z 1 отображаются соответственно в и 0. Точка z = угловой точкой границы не является, так как на бесконечности лучи и , рассматриваемые как единая часть прямой Im z = 0, угол не образуют. Функция z 1 отображает заданную область на угол величины с вершиной в начале координат, который с помощью степенной функции отображается на угол величины , т.е. на верхнюю полуплоскость.

Так как при отображении z 1 лучи и в совокуп-ности переходят в один луч , то образом заданной области при отображении z 1 будет вся плоскость с разрезом по лучу , т.е. угол величины с вершиной в начале координат, который с по-мощью функции отображается на верхнюю полуплоскость.

Функция Жуковского z 1 отображает внешность единичного круга на внешность отрезка , а разрез по лучу на луч . Поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет внешность отрезка , откуда выкидывается еще луч , т.е. будет плоскость с разрезом по лучу .

Преобразование отображает единичный верхний полукруг на единичный круг с разрезом по отрезку , а отрезок на отрезок , поэтому образом исходной области при отображении z 1 будет единичный круг с разрезами по отрезкам и . Полученная область отображается функцией Жуковского z 2 на плоскость с разрезом по лучу , так как при этом отображении единичный круг переходит во внешность отрезка , отрезок на отрезок , а отрезок на луч .

Граница исходной области имеет точку касания z = 0, которая с помощью функции отображается в . При этом сама область переходит в полосу.

Для отображения полуполосы, изображенной на плоскости z 3 , на верхнюю полуплоскость воспользовались ответом примера з), где брали . Тогда .

При отображении полоса переходит в угол , т.е. в плоскость с разрезом по лучу , а разрез переходит в луч , поэтому исходная область переходит в плоскость с разрезами по лучам и . Далее воспользовались ответом примера в).

5. Отобразить полукруг на круг так, чтобы .

Решение. Сначала найдем какое-нибудь конформное отображение заданного полукруга на верхнюю полуплоскость. Одно из таких отображений дается последовательностью конформных отображений, указанных на следующих рисунках.

отображает заданный полукруг конформно на верхнюю полуплоскость. При этом внутренняя точка перейдет в точку , а граничная точка 2 в точку 1. Отобразим теперь полуплоскость на круг так, чтобы точка перешла в точку 0, а точка 1 в точку 1. Так как искомое отображение является дробно- линейным, то при этом согласно свойству симметрии дробно-линейной функции точка , симметричная точке относительно границы полуплоскости , перейдет в точку , симметричную точке 0 относительно границы круга . Следовательно, искомое отображение переводит точки , , 1 соответственно в точки 0, , 1. Оно находится из соотношения

где . Эта функция отображает заданный полукруг на единичный круг так, что .

В настоящей главе мы займемся рассмотрением некоторых приложений теории функций комплексного переменного к задачам плоской гидродинамики, электростатики и теории упругости. Существенную роль при этих применениях играет конформное преобразование, и мы начнем настоящую главу с более подробного рассмотрения конформного преобразования. Основные свойства преобразования, совершаемого регулярной функцией, были нами выяснены в и затем в . Мы рассмотрели более подробно это преобразование как в тех точках, где производная отлична от нуля, так и в тех точках, где она равна нулю. В точках первого рода углы остаются без изменения, а что касается точек второго рода, то в этих точках углы увеличиваются так, как это было указано в . Пусть

регулярная функция, совершающая конформное преобразование области В в область . Если нигде в нуль не обращается в области В, то область не имеет точек разветвления, но может все же быть многолистной, т. е. налегать сама на себя. Рассмотрим в области В некоторую кривую функцию заданную на этой кривой, и криволинейный интеграл

где элемент дуги кривой l. В результате преобразования (1) кривая l перейдет в некоторую кривую лежащую в области и элемент дуги новой кривой будет выражаться произведением так как дает коэффициент изменения линейных размеров .

Вводя функцию

обратную (1), мы будем иметь, очевидно, следовательно, можем написать

Так что интеграл в результате преобразования будет выражаться в виде

Точно так же, принимая во внимание, что будет давать коэффициент изменения площади в заданном месте, мы будем иметь следующую формулу преобразования двойного интеграла при конформном преобразовании:

и для элемента площади будет иметь место следующая формула:

Если отделить в формуле (1) вещественную и мнимую части,

то нетрудно видеть, что равно функциональному определителю от функций по переменным х и у. Действительно, этот функциональный определитель выражается формулой

или, в силу уравнений Коши - Римана, формулой

а это и есть как раз квадрат модуля производной

Рассмотрим на плоскости два семейства линий вида

где произвольные постоянные. На плоскости им будут соответствовать прямые параллельные координатным осям, и, следовательно, линии (7) получаются из сетки прямых, параллельных осям, при помощи преобразования (2). Отсюда, между прочим, следует непосредственно, что линии (7), принадлежащие различным семействам, взаимно ортогональны, кроме тех точек, где равна нулю. Наоборот, если мы возьмем уравнения

и положим в правых частях этих уравнений или где произвольные постоянные, то получим на плоскости сетку, состоящую из двух семейств взаимно ортогональных линий.

Эта сетка получается из сетки прямых, параллельных осям координат плоскости при помощи преобразования, совершаемого функцией (1). Эти две сетки, которые будут играть в дальнейшем существенную роль, называются обычно изотермическими сетками. Выясним смысл этого названия. Вещественная часть (или мнимая) регулярной функции должна удовлетворять уравнению Лапласа :

Но такому уравнению удовлетворяет температура в случае установившегося потока тепла причем мы считаем, что имеется плоский случай, т. е. температура и не зависит от одной из координат.

При таком толковании функции как температуры при установившемся потоке тепла, линии первого из семейств (7) будут линиями равной температуры, откуда и происходит название изотермическая сетка. В рассматриваемом случае линии второго из семейств (7), ортогональные к первым, будут служить векторными линиями для векторов, которые мы рассматривали в и называли векторами потока тепла.

При преобразовании (1) две линии перейдут в прямые параллельные оси и часть области В, ограниченная вышеуказанными линиями, перейдет в часть полосы, ограниченной вышеуказанными прямыми, параллельными оси .

Криволинейный четырехугольник, ограниченный четырьмя линиями изотермической сетки, перейдет в результате преобразования (1) в прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям (рис. 26)

Сделаем еще одно добавление к общим основам конформного преобразования, прежде чем переходить к примерам. Мы видели, что при преобразовании, совершаемом регулярной функцией в тех точках, где производная отлична от нуля, углы сохраняются не только по величине, но и по направлению их отсчета. Иногда рассматривают такие преобразования плоскости, при которых величины углов сохраняются, а направление их отсчета переходит в противоположное.

Такое преобразование называют иногда конформным преобразованием второго рода. В качестве примера укажем преобразование симметрии в вещественной оси, которое будет, очевидно, конформным преобразованием второго рода (рис. 27). Это преобразование можно записать в виде формулы . Вообще, если есть регулярная функция в области В, то формула

будет давать конформное преобразование второго рода, определенное в области симметричной с В относительно вещественной оси. Действительно, переход от z к будет переводить в В с сохранением величин углов, но с изменением направления их отсчета. Последующий затем переход от к по формуле (8) не будет уже менять ни величин углов, ни направления их отсчетов и, таким образом, в окончательном преобразовании от z к w мы будем иметь конформное преобразование второго рода.